В таблице показано количество билетов и возможные выигрыши беспроигрышной денежной лотереи. Всего выпущено \(\displaystyle 1000\) билетов. Участник покупает один случайный билет. Найдите математическое ожидание случайной величины "выигрыш на один билет".
| Выигрыш | \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 50\) | \(\displaystyle 100\) | \(\displaystyle 5000\) |
| Количество билетов | \(\displaystyle 990\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 1\) |
Пусть \(\displaystyle X\) – величина выигрыша на один билет.
Требуется найти её математическое ожидание
Сначала составим для случайной величины \(\displaystyle X\) таблицу распределения.
По условию выигрыш на один билет может составить \(\displaystyle 10{ \small ,}\,50{ \small ,}\,100\) или \(\displaystyle 5000\) рублей. Все билеты лотереи являются выигрышными.
Значит, \(\displaystyle X\) принимает значения \(\displaystyle 10{ \small ,}\,50{ \small ,}\,100{ \small ,}\,5000 { \small .}\)
Найдём вероятности каждого из выигрышей:
• вероятность выигрыша \(\displaystyle 10\)рублей или \(\displaystyle P(X=10)= \frac{990}{1000}=0{,}99 { \small ;}\)
• вероятность выигрыша \(\displaystyle 50\)рублей или \(\displaystyle P(X=50)= \frac{6}{1000}=0{,}006 { \small ;}\)
• вероятность выигрыша \(\displaystyle 100\)рублей или \(\displaystyle P(X=100)= \frac{3}{1000}=0{,}003 { \small ;}\)
• вероятность выигрыша \(\displaystyle 5000\)рублей или \(\displaystyle P(X=5000)= \frac{1}{1000}=0{,}001 { \small .}\)
Получаем распределение:
| \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 50\) | \(\displaystyle 100\) | \(\displaystyle 5000\) |
| \(\displaystyle P(X=x)\) | \(\displaystyle 0{,}99\) | \(\displaystyle 0{,}006\) | \(\displaystyle 0{,}003\) | \(\displaystyle 0{,}001\) |
Сумма найденных вероятностей:
\(\displaystyle \begin{aligned}99&+0{,}006+ 0{,}003+ 0{,}001= 1{\small. }\end{aligned}\)
Значит, свойство распределения выполнено.
\(\displaystyle \begin{aligned}E(X)=10 \cdot 0{,}99&+50\cdot 0{,}006+100\cdot 0{,}003+5000\cdot 0{,}001= \\[10px]&=9{,}9+0{,}3+0{,}3+5=15{,}5{\small. }\end{aligned}\)
То есть в среднем выигрыш на один билет в такой лотерее составит \(\displaystyle 15{,}5{\small }\)рублей.
Заметим, что часто удобно вычислять математическое ожидание, используя значения вероятностей в виде обыкновенных дробей с общим знаменателем, не сокращая эти дроби.
Так, в нашем случае получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}E(X)=10 \cdot \frac{990}{1000}&+50\cdot \frac{6}{1000}+100\cdot \frac{3}{1000}+5000\cdot \frac{1}{1000}= \\[10px]&=\frac{9900+300+300+5000}{1000}=\frac{155000}{1000}=15{,}5{\small. }\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle 15{,}5{\small .}\)