Обычный шестигранный кубик подбрасывают один раз. Сумма выигрыша составляет столько \(\displaystyle ₿\small,\) сколько очков выпало на кубике.
Предположим, что стоимость одной игры составляет \(\displaystyle 3₿\small.\)
Какую сумму выигрыша стоит ожидать игроку, если он сыграет в данную игру \(\displaystyle 20\) раз?
Сколько должна стоить возможность сыграть в данную игру, чтобы ожидаемый выигрыш был равен \(\displaystyle 0₿\small?\)
Пусть cлучайная величина \(\displaystyle X\) – сумма выигрыша в одной игре.
Она может принимать каждое целое значение от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle 6{\small }\) с вероятностью \(\displaystyle \frac{1}{6}{\small .}\)
Найдём ожидаемый выигрыш за \(\displaystyle 20\) игр в \(\displaystyle ₿{\small .}\)
Заметим, что в случае выигрыша некоторой суммы в одной игре, придется отдать из этой суммы \(\displaystyle 3₿{\small .}\)
Тогда случайная величина \(\displaystyle X-3\) – сумма выигрыша в одной игре с учетом уплаты \(\displaystyle 3₿{\small .}\)
Поскольку нас интересует ожидаемый выигрыш за \(\displaystyle 20\) игр, то требуется найти математическое ожидание случайной величины \(\displaystyle 20(X-3){\small .}\)
Составим таблицу значений для \(\displaystyle X{\small ,}\) \(\displaystyle X-3\) и \(\displaystyle 20(X-3){\small .}\)
| Значение \(\displaystyle X\) | Значение \(\displaystyle X-3\) | Значение \(\displaystyle 20(X-3)\) |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle -2\) | \(\displaystyle -40\) |
| \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -20\) |
| \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 0\) |
| \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 20\) |
| \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 40\) |
| \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 60\) |
Составим для \(\displaystyle 20(X-3)\) таблицу распределения:
| Значение \(\displaystyle 20(X-3)\) | \(\displaystyle -40\) | \(\displaystyle -20\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 20\) | \(\displaystyle 40\) | \(\displaystyle 60\) |
| Вероятность | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) |
Следовательно, математическое ожидание случайной величины \(\displaystyle 20(X-3){\small }\) равно:
\(\displaystyle \begin{aligned}E(20(X-3))=(-40)\cdot \frac{1}{6}+(-20)\cdot &\frac{1}{6}+0\cdot \frac{1}{6}+20\cdot \frac{1}{6}+40\cdot \frac{1}{6}+60\cdot \frac{1}{6}=\\[10px]&=\frac{-40-20+0+20+40+60}{6}=\frac{60}{6}=10₿{\small .}\end{aligned}\)
То есть ожидаемый выигрыш за \(\displaystyle 20\) игр составит \(\displaystyle 10₿{\small .}\)
Найдём, сколько должна стоить возможность сыграть в данную игру один раз, чтобы ожидаемый выигрыш был равен \(\displaystyle 0₿\small.\)
Для того чтобы средний выигрыш в одной игре был \(\displaystyle 0₿{\small ,}\) нужно отдавать выигранную за эту игру сумму.
Посчитаем возможный ожидаемый выигрыш за одну игру.
Составим для случайной величины \(\displaystyle X\) таблицу распределения. Получаем:
| Значение \(\displaystyle X\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 6\) |
| Вероятность | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{6}\) |
Следовательно, математическое ожидание случайной величины \(\displaystyle X\) равно
\(\displaystyle \begin{aligned}E(X)=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{5}{6}&+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=\\[10px]&=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3{,}5₿{\small .}\end{aligned}\)
То есть в среднем выигрыш будет составлять \(\displaystyle 3{,}5₿{\small .}\)
Значит, стоимость одной игры должна составлять \(\displaystyle 3{,}5₿{\small .}\)