Дан равносторонний треугольник \(\displaystyle ABC\) со стороной \(\displaystyle AB=4.\) Найдите скалярное произведение векторов \(\displaystyle \overrightarrow {BC}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {CA}.\)
Скалярное произведение векторов \(\displaystyle \overrightarrow {BC}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {CA}\)– это число
\(\displaystyle \overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {CA}=|\overrightarrow {BC}| \cdot |\overrightarrow {CA}|\cdot \cos ( \widehat{\overrightarrow {BC},\overrightarrow {CA}}),\)
где \(\displaystyle \widehat{\overrightarrow {BC},\overrightarrow {CA}}\)– угол между векторами \(\displaystyle \overrightarrow {BC}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {CA}.\)
Изобразим искомый угол. Нам потребуется отложить данные векторы из одной точки.
Отложим векторы из точки \(\displaystyle C.\)
Пусть \(\displaystyle \overrightarrow {CM}=\overrightarrow {BC}.\)
Тогда \(\displaystyle \angle MCA\)– искомый угол.
Так как \(\displaystyle ABC\)– равносторонний треугольник, то \(\displaystyle \angle BCA = 60^{\circ}.\)
Углы \(\displaystyle \angle MCA\) и \(\displaystyle \angle BCA\)– смежные, поэтому
\(\displaystyle \angle MCA=180^{\circ}-\angle BCA=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.\)
Значит,
\(\displaystyle \cos ( \widehat{\overrightarrow {BC},\overrightarrow {CA}}) = \cos 120^{\circ}=-\frac{1}{2}.\)
По условию \(\displaystyle AB=AC=4.\)
Следовательно,
\(\displaystyle \overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {CA}=|\overrightarrow {BC}| \cdot |\overrightarrow {CA}|\cdot \cos ( \widehat{\overrightarrow {BC},\overrightarrow {CA}})=4\cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-8.\)
Ответ: \(\displaystyle -8.\)