Дан равносторонний треугольник \(\displaystyle ABC\) со стороной \(\displaystyle AB=4.\) Найдите скалярное произведение векторов \(\displaystyle \overrightarrow {AB}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {AC}.\)
Скалярное произведение векторов \(\displaystyle \overrightarrow {AB}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {AC}\)– это число
\(\displaystyle \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}=|\overrightarrow {AB}| \cdot |\overrightarrow {AC}|\cdot \cos ( \widehat{\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}}),\)
где \(\displaystyle \widehat{\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}}\)– угол между векторами \(\displaystyle \overrightarrow {AB}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {AC}.\)
Изобразим искомый угол. Поскольку векторы \(\displaystyle \overrightarrow {AB}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {AC}\) отложены из одной точки \(\displaystyle A,\) то \(\displaystyle \angle BAC\)– искомый угол.
Так как треугольник \(\displaystyle ABC\) равносторонний, то \(\displaystyle \angle BAC = 60^{\circ}.\)
Тогда
\(\displaystyle \cos \angle BAC = \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}.\)
По условию \(\displaystyle AB=AC=4.\)
Следовательно,
\(\displaystyle \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}=|\overrightarrow {AB}| \cdot |\overrightarrow {AC}|\cdot \cos ( \widehat{\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}})=4\cdot 4 \cdot \frac{1}{2}=8.\)
Ответ: \(\displaystyle 8.\)