Теория: 03 Решение неравенств - 1

1. Найдем корни левой части неравенства  \(\displaystyle x^2-5x-6\leqslant 0{\small .}\)

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= (-5)^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25+24=49\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{49}=7{\small .}\)

Найдем корни:

\(\displaystyle x_1= \frac{-(-5)-7}{2}=\frac{-2}{2}=-1{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-(-5)+7}{2}=\frac{12}{2}=6{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle x_1​=-1\) и \(\displaystyle x_2​=6\) – корни квадратного трехчлена \(\displaystyle x^2-5x-6{\small .}\)

2. Расставим на числовой оси точки, соответствующие найденным корням.

Поскольку неравенство нестрогое, то корни обозначаются закрашенными точками:

3. Получили три интервала, на которых нужно определить знаки:

\(\displaystyle (-\infty;-1){\small ,}\) \(\displaystyle (-1;6)\) и \(\displaystyle (6;+\infty){\small .}\)

Тогда для \(\displaystyle f(x)=x^2-5x-6\) получаем:

\(\displaystyle f(-2)>0\quad\quad\quad\quad\quad f(0)<0\quad\quad\quad\quad\quad f(7)>0\)

Решения неравенства \(\displaystyle x^2-5x-6 \leqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция неположительна, откуда

\(\displaystyle [-1;6]\) – искомое решение.

1. Найдем корни левой части неравенства \(\displaystyle x^2-5x+6\geqslant 0{\small .}\)

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= (-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{1}=1{\small .}\)

Найдем корни:

\(\displaystyle x_1= \frac{-(-5)-1}{2}=\frac{4}{2}=2{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-(-5)+1}{2}=\frac{6}{2}=3{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle x_1​=2\) и \(\displaystyle x_2​=3\) – корни квадратного трехчлена \(\displaystyle x^2-5x+6{\small .}\)

2. Расставим на числовой оси точки, соответствующие найденным корням.

Поскольку неравенство нестрогое, то корни обозначаются закрашенными точками:

3. Получили три интервала, на которых нужно определить знаки:

\(\displaystyle (-\infty;2){\small ,}\) \(\displaystyle (2;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)

Тогда для \(\displaystyle f(x)=x^2-5x+6\) получаем:

\(\displaystyle f(0)>0\quad\quad\quad\quad\quad f(2{,}5)<0\quad\quad\quad\quad\quad f(4)>0\)

Решения неравенства \(\displaystyle x^2-5x+6 \geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция неотрицательна, откуда

\(\displaystyle (-\infty;2]\cup [3;+\infty)\) – искомое решение.

1. Найдем корни левой части неравенства \(\displaystyle x^2+5x+6\geqslant 0{\small .}\)

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= (5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{1}=1{\small .}\)

Найдем корни:

\(\displaystyle x_1= \frac{-5-1}{2}=\frac{-6}{2}=-3{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-5+1}{2}=\frac{-4}{2}=-2{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle x_1​=-3\) и \(\displaystyle x_2​=-2\) – корни квадратного трехчлена \(\displaystyle x^2+5x+6=0{\small .}\)

2. Расставим на числовой оси точки, соответствующие найденным корням.

Поскольку неравенство нестрогое, то корни обозначаются закрашенными точками:

3. Получили три интервала, на которых нужно определить знаки:

\(\displaystyle (-\infty;-3){\small ,}\) \(\displaystyle (-3;-2)\) и \(\displaystyle (-2;+\infty){\small .}\)

Тогда для \(\displaystyle f(x)=x^2+5x+6\) получаем:

\(\displaystyle f(-4)>0\quad\quad\quad\quad\quad f(-2{,}5)<0\quad\quad\quad\quad\quad f(0)>0\)

Решения неравенства \(\displaystyle x^2+5x+6 \geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция неотрицательна, откуда

\(\displaystyle (-\infty;-3]\cup [-2;+\infty)\) – искомое решение.