Теория: 04 Три корня \(\displaystyle \log_{4}(2x-1)\cdot \sqrt {x^2-4x+4a-a^2}=0\) на \(\displaystyle [0; 2]\)

Для первого уравнения:

\(\displaystyle 2x-1>0{ \small .} \)

Для второго уравнения:

\(\displaystyle x^2-4x+4a-a^2 \geqslant 0{\small .} \)

\(\displaystyle \log_{4}(2x-1)=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 4^{\log_{4}(2x-1)}=4^0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 2x-1=1{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=1{\small .}\)

Избавимся от корня, возведя обе части в квадрат:

\(\displaystyle x^2-4x+4a-a^2=0{ \small .}\)

Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно \(\displaystyle x{\small .} \)

Найдем дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}=(-4)^2-4(4a-a^2)=4a^2-16a+16=4(a^2-4a+4)=4(a-2)^2{ \small .}\)

Тогда корни равны

\(\displaystyle x_{1{\small ,}2}=\frac{4\pm \sqrt{4(a-2)^2 }}{2}= \frac{ 4\pm 2(a-2)}{ 2 }= 2\pm (a-2){\small ,}\)

\(\displaystyle x_1=a\) или \(\displaystyle x_2=4-a{\small .}\)

Необходимо, чтобы исходное уравнение имело ровно один корень на \(\displaystyle [0;2]{\small .} \)

Заметим, что первое уравнение может иметь максимум один корень, а второе – два.

При этом оба уравнения имеют свою область определения.

Тогда возможны четыре случая.

Три случая – когда все корни различны. В этом случае один корень удовлетворяет условию задачи, а два других – нет:

• корень первого уравнения попадает на \(\displaystyle [0;2] \) и в область определения второго уравнения;
  корни второго не попадают или на \(\displaystyle [0;2] { \small ,}\) или в область определения первого уравнения;
• корень первого уравнения не попадает или на \(\displaystyle [0;2]{ \small ,} \) или в область определения второго уравнения;
  первый из корней второго уравнения попадает на \(\displaystyle [0;2] \) и в область определения первого уравнения;
  второй из корней второго уравнения не попадает или на \(\displaystyle [0;2]{ \small ,} \) или в область определения первого уравнения;
• корень первого уравнения не попадает или на \(\displaystyle [0;2]{ \small ,} \) или в область определения второго уравнения;
  второй из корней второго уравнения попадает на \(\displaystyle [0;2] \) и в область определения первого уравнения;
  первый из корней второго уравнения не попадает или на \(\displaystyle [0;2]{ \small ,} \) или в область определения первого уравнения.

Четвертый случай – когда хотя бы два корня совпадают.

Должно быть:

• корень первого уравнения попадает на \(\displaystyle [0;2] \) и в область определения второго уравнения;
  корни второго не попадают или на \(\displaystyle [0;2] { \small ,}\) или в область определения первого уравнения.

1. Корень \(\displaystyle x=1\) попадает в область определения второго уравнения, если при подстановке в неравенство \(\displaystyle x^2-4x+4a-a^2 \geqslant 0\) получается неотрицательное число:

\(\displaystyle 1^2-4\cdot 1+4a-a^2 \geqslant 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle -a^2+4a-3 \geqslant 0{ \small .}\)

Это неравенство имеет решения \(\displaystyle a\in [ 1;3]{\small .} \)

2. Первый корень второго уравнения \(\displaystyle x_1=a\)

• либо не лежит в области определения первого уравнения: \(\displaystyle a\leqslant \frac{ 1}{ 2 }{\small,}\)
• либо не попадает в отрезок \(\displaystyle [0;\,2]{\small:}\) \(\displaystyle a<0\) или \(\displaystyle a>2{\small.}\)

Изобразим это на прямой:

То есть

\(\displaystyle a\in\left(-\infty;\,\frac{1}{2}\right]\cup\left(2;\,+\infty\right){\small.}\)

3. Второй корень второго уравнения \(\displaystyle x_2=4-a\)

• либо не лежит в области определения первого уравнения: \(\displaystyle 4-a\leqslant \frac{ 1}{ 2 }{\small,}\)
• либо не попадает в отрезок \(\displaystyle [0;\,2]{\small:}\) \(\displaystyle 4-a<0\) или \(\displaystyle 4-a>2{\small.}\)

Изобразим это на прямой:

То есть

\(\displaystyle a\in (-\infty;\,2)\cup \left[\frac{7}{2};\,+\infty\right){\small.}\)

Получаем систему из трех условий:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&a\in [ 1;3],\\&a\in \left(-\infty; \frac{ 1}{ 2 }\right]\cup \left(2;+\infty\right),\\&a\in \left(-\infty;2\right)\cup \left[\frac{ 7}{ 2 };+\infty\right)\end{aligned}\right. \)    или, упрощая, \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&a\in [ 1;3],\\&a\in \left(-\infty; \frac{ 1}{ 2 }\right]\cup \left[ \frac{ 7}{ 2 };+\infty\right).\end{aligned}\right.\)

Откуда

\(\displaystyle a\in \varnothing{\small.}\)

Должно быть:

• корень первого уравнения не попадает или на \(\displaystyle [0;2]{ \small ,} \) или в область определения второго уравнения;
  первый из корней второго уравнения попадает на \(\displaystyle [0;2] \) и в область определения первого уравнения;
  второй из корней второго уравнения не попадает или на \(\displaystyle [0;2]{ \small ,} \) или в область определения первого уравнения.

1. Заметим, что корень \(\displaystyle x=1\) первого уравнения попадает на \(\displaystyle [0;2]{\small .} \) Значит, \(\displaystyle x=1\) не должно попасть в область определения второго уравнения, то есть

\(\displaystyle 1^2-4\cdot 1+4a-a^2 < 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle -a^2+4a-3< 0{ \small .}\)

Это неравенство имеет решения \(\displaystyle a\in (-\infty; 1)\cup (3;+\infty){\small .} \)

2. Первый корень второго уравнения \(\displaystyle x_1=a\)

• и лежит в области определения первого уравнения: \(\displaystyle a> \frac{ 1}{ 2 }{\small,}\)
• и попадает в отрезок \(\displaystyle [0;\,2]{\small:}\) \(\displaystyle 0\leqslant a \leqslant 2{\small.}\)

Изобразим это на прямой:

То есть

\(\displaystyle a\in \left(\frac{ 1}{ 2 };2\right]{\small.}\)

3. Второй корень второго уравнения \(\displaystyle x_2=4-a\)

• либо не лежит в области определения первого уравнения: \(\displaystyle 4-a\leqslant \frac{ 1}{ 2 }{\small,}\)
• либо не попадает в отрезок \(\displaystyle [0;\,2]{\small:}\) \(\displaystyle 4-a<0\) или \(\displaystyle 4-a>2{\small.}\)

Изобразим это на прямой:

То есть

\(\displaystyle a\in (-\infty;\,2)\cup \left[\frac{7}{2};\,+\infty\right){\small.}\)

Получаем систему из трех условий:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&a\in (-\infty; 1)\cup (3;+\infty),\\&a\in \left(\frac{ 1}{ 2 };2\right],\\&a\in \left(-\infty;2\right)\cup \left[ \frac{ 7}{ 2 };+\infty\right)\end{aligned}\right. \) или, упрощая, \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&a\in (-\infty; 1)\cup \left[ \frac{ 7}{ 2 };+\infty\right),\\&a\in \left(\frac{ 1}{ 2 };2\right].\end{aligned}\right. \)

Откуда

\(\displaystyle a\in \left(\frac{ 1}{ 2 };1\right){\small.}\)

Должно быть:

• корень первого уравнения не попадает или на \(\displaystyle [0;2]{ \small ,} \) или в область определения второго уравнения;
  первый из корней второго уравнения не попадает или на \(\displaystyle [0;2]{ \small ,} \) или в область определения первого уравнения;
  второй из корней второго уравнения попадает на \(\displaystyle [0;2] \) и в область определения первого уравнения.

1. Заметим, что корень \(\displaystyle x=1\) первого уравнения попадает на \(\displaystyle [0;2]{\small .} \) Значит, \(\displaystyle x=1\) не должно попасть в область определения второго уравнения, то есть

\(\displaystyle 1^2-4\cdot 1+4a-a^2 < 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle -a^2+4a-3< 0{ \small .}\)

Это неравенство имеет решения \(\displaystyle a\in (-\infty; 1)\cup (3;+\infty){\small .} \)

2. Первый корень второго уравнения \(\displaystyle x_1=a\)

• либо не лежит в области определения первого уравнения: \(\displaystyle a\leqslant \frac{ 1}{ 2 }{\small,}\)
• либо не попадает в отрезок \(\displaystyle [0;\,2]{\small:}\) \(\displaystyle a<0\) или \(\displaystyle a>2{\small.}\)

Изобразим это на прямой:

То есть

\(\displaystyle a\in\left(-\infty;\,\frac{1}{2}\right]\cup\left(2;\,+\infty\right){\small.}\)

3. Второй корень второго уравнения \(\displaystyle x_2=4-a\)

• и лежит в области определения первого уравнения: \(\displaystyle 4-a> \frac{ 1}{ 2 }{\small,}\)
• и попадает в отрезок \(\displaystyle [0;\,2]{\small:}\) \(\displaystyle 0\leqslant 4-a \leqslant 2{\small.}\)

Изобразим это на прямой:

То есть

\(\displaystyle a\in \left[2;\frac{ 7}{ 2 }\right){\small.}\)

Получаем систему из трех условий:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&a\in (-\infty; 1)\cup (3;+\infty),\\&a\in \left(-\infty;\frac{ 1}{ 2 }\right]\cup (2;+\infty),\\&a\in \left[2;\frac{ 7}{ 2 }\right)\end{aligned}\right. \)    или, упрощая, \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&a\in \left(-\infty; \frac{ 1}{ 2 }\right)\cup \left(3;+\infty\right),\\&a\in \left[2;\frac{ 7}{ 2 }\right).\end{aligned}\right. \)

Откуда

\(\displaystyle a\in \left(3;\frac{ 7}{ 2 }\right){\small.} \)

Должно быть:

• хотя бы два корня совпадают.

Возможны два варианта.

1. Корень первого уравнения является корнем второго.

• Тогда либо первый корень второго уравнения равен единице, то есть \(\displaystyle a=1{ \small .} \) В этом случае второй корень второго уравнения равен \(\displaystyle 4-a=4-1=3{ \small ,} \) отличается от первого корня \(\displaystyle a=1 \) и не попадает на \(\displaystyle [0;2]{\small .} \) Значит, \(\displaystyle a=1 \) подходит.
• или второй корень второго уравнения равен единице, то есть \(\displaystyle 4-a=1{ \small ,} \) откуда \(\displaystyle a=3 \) и это первый корень второго уравнения, который не попадает на \(\displaystyle [0;2]{\small .} \) Значит, \(\displaystyle a=3 \) подходит.

2. Корни второго уравнения совпадают, то есть \(\displaystyle a=4-a{ \small ,}\) откуда \(\displaystyle a=2 \) корни второго уравнения. Поскольку корни уравнения совпадают, то в этом случае под корнем квадратным во втором уравнении стоит полный квадрат. Значит, корень \(\displaystyle x=1 \) первого уравнения попадает в область определения второго. Поэтому \(\displaystyle x=1 \) и \(\displaystyle x=a=2 \) корни исходного уравнения, что нас не устраивает. Поэтому \(\displaystyle a=2 \) не подходит.