Теория: 04 Три корня \(\displaystyle \log_{4}(2x-1)\cdot \sqrt {x^2-4x+4a-a^2}=0\) на \(\displaystyle [0; 2]\)

\(\displaystyle \log_{4}(2x-1)=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 4^{\log_{4}(2x-1)}=4^0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 2x-1=1{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=1{\small .}\)

Избавимся от корня, возведя обе части в квадрат:

\(\displaystyle x^2-4x+4a-a^2=0{ \small .}\)

Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно \(\displaystyle x{\small .} \)

Найдем дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}=(-4)^2-4(4a-a^2)=4a^2-16a+16=4(a^2-4a+4)=4(a-2)^2{ \small .}\)

Тогда корни равны

\(\displaystyle x_{1{\small ,}2}=\frac{4\pm \sqrt{4(a-2)^2 }}{2}= \frac{ 4\pm 2(a-2)}{ 2 }= 2\pm (a-2){\small ,}\)

\(\displaystyle x_1=a\) или \(\displaystyle x_2=4-a{\small .}\)

\(\displaystyle x>\frac{ 1}{ 2 }{\small .} \)

Под квадратным корнем должно быть неотрицательное выражение:

\(\displaystyle x^2-4x+4a-a^2\geqslant 0{\small .} \)

Корни уравнения \(\displaystyle x^2-4x+4a-a^2=0\) равны \(\displaystyle x=a \) и \(\displaystyle x=4-a{\small .} \)

Тогда

\(\displaystyle (x-a)(x-(4-a))\geqslant 0{\small .} \)

Возможны два варианта:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x-a\geqslant 0\\&x-(4-a)\geqslant 0\end{aligned}\right. \) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x-a\leqslant 0\\&x-(4-a)\leqslant 0\end{aligned}\right. \)