Найдите все значения \(\displaystyle a {\small ,}\) при каждом из которых уравнение
\(\displaystyle a^2+2ax-3x^2-4a-4x+8|x|=0\)
имеет меньше четырёх различных корней.
Упростим уравнение, раскрыв модуль.
Для этого рассмотрим два случая: \(\displaystyle x\geqslant0\) и \(\displaystyle x<0{\small.}\)
1. Если \(\displaystyle x\geqslant0{\small,}\) то \(\displaystyle |x|=x{\small.}\) Тогда исходное уравнение принимает вид:
\(\displaystyle a^2+2ax-3x^2-4a-\underline{4x}+\underline{8\color{blue}{x}}=0{\small,}\)
\(\displaystyle a^2+2ax-3x^2-4a+\underline{4x}=0{\small.}\)
Получили квадратное уравнение относительно \(\displaystyle x{\small:}\)
\(\displaystyle -3x^2+(2a+4)x+a^2-4a=0{\small.}\)
Найдем его корни.
\(\displaystyle x_1=-\frac{a-4}{3}\) и \(\displaystyle x_2=a{\small.}\)
Дискриминант уравнения:
\(\displaystyle \begin{aligned}{\rm D}=(2a+4)^2-4\cdot(-3)\cdot(a^2-4a)=(4a^2+16a+16)+(12a^2-48a)=\\=16a^2-32a+16=16(a^2-2a+1)=16(a-1)^2{\small.}\end{aligned}\)
Тогда \(\displaystyle \pm\sqrt{{\rm D}}\) принимает значения
\(\displaystyle \pm4(a-1){\small.}\)
Значит, корни уравнения:
\(\displaystyle x_1=\frac{-(2a+4)+4(a-1)}{2\cdot(-3)}=\frac{2a-8}{-6}=-\frac{a-4}{3}{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-(2a+4)-4(a-1)}{2\cdot(-3)}=\frac{-6a}{-6}=a{\small.}\)
2. Если \(\displaystyle x<0{\small,}\) то \(\displaystyle |x|=-x{\small.}\) Тогда исходное уравнение принимает вид:
\(\displaystyle a^2+2ax-3x^2-4a-\underline{4x}+\underline{8\cdot\color{blue}{(-x)}}=0{\small,}\)
\(\displaystyle a^2+2ax-3x^2-4a-\underline{12x}=0{\small.}\)
Получили квадратное уравнение относительно \(\displaystyle x{\small:}\)
\(\displaystyle -3x^2+(2a-12)x+a^2-4a=0{\small.}\)
Найдем его корни.
\(\displaystyle x_1=-\frac{a}{3}\) и \(\displaystyle x_2=a-4{\small.}\)
Дискриминант уравнения:
\(\displaystyle \begin{aligned}{\rm D}=(2a-12)^2-4\cdot(-3)\cdot(a^2-4a)=(4a^2-48a+144)+(12a^2-48a)=\\=16a^2-96a+144=16(a^2-6a+9)=16(a-3)^2{\small.}\end{aligned}\)
Тогда \(\displaystyle \pm\sqrt{{\rm D}}\) принимает значения
\(\displaystyle \pm4(a-3){\small.}\)
Значит, корни уравнения:
\(\displaystyle x_1=\frac{-(2a-12)+4(a-3)}{2\cdot(-3)}=\frac{2a}{-6}=-\frac{a}{3}{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-(2a-12)-4(a-3)}{2\cdot(-3)}=\frac{-6a+24}{-6}=a-4{\small.}\)
Теперь необходимо определить, когда у уравнения меньше четырех корней.
Способ 2 (аналитический)
Исходное уравнение распадается на два квадратных при разных значениях \(\displaystyle x{\small .}\)
Квадратное уравнение имеет не более двух корней. Значит, исходное уравнение имеет не более четырех корней.
Найдем те значения \(\displaystyle a,\) которые нам не подходят.
То есть те \(\displaystyle a{\small,}\) при которых исходное уравнение имеет ровно четыре корня.
Корни исходного уравнения, если существуют, то выражаются формулами:
Для \(\displaystyle x\geqslant0\)
| Для \(\displaystyle x<0\)
|
Тогда уравнение имеет \(\displaystyle 4\) корня, если:
- все корни существуют (\(\displaystyle x_1,\,x_2\geqslant 0\) и \(\displaystyle \,x_3,\,x_4<0\)),
- неотрицательные корни не совпадают (\(\displaystyle x_1\,\cancel{=}\,x_2\)),
- отрицательные корни не совпадают (\(\displaystyle x_3\,\cancel{=}\,x_4\)).
Это можно записать в виде системы неравенств:
\(\displaystyle\begin{cases}-\dfrac{a-4}{3}\geqslant0,\\a\geqslant0,\\-\dfrac{a-4}{3}\,\cancel{=}\,a,\\-\dfrac{a}{3}<0,\\a-4<0,\\-\dfrac{a}{3}\,\cancel{=}\,a-4.\end{cases}\)
Упростим каждое из неравенств системы:
\(\displaystyle\begin{cases}a\leqslant4,\\a\geqslant0,\\a\,\cancel{=}\,1,\\a>0,\\a<4,\\a\,\cancel{=}\,3.\end{cases}\)
Заметим, что систему можно упростить.
Неравенства \(\displaystyle a\leqslant4\) и \(\displaystyle a<4\) дают неравенство \(\displaystyle a<4{\small.}\)
Неравенства \(\displaystyle a\geqslant0\) и \(\displaystyle a>0\) дают неравенство \(\displaystyle a\geqslant0{\small.}\)
Тогда, упрощая систему, получаем:
\(\displaystyle\begin{cases}a\,\cancel{=}\,1,\\a>0,\\a<4,\\a\,\cancel{=}\,3.\end{cases}\)
Решим получившуюся систему неравенств.
На координатной прямой
- отметим лучи, соответствующие неравенствам \(\displaystyle a>0\) и \(\displaystyle a<4\) (начала лучей выкалываются, так как неравенства строгие),
- выколем точки, соответствующие неравенствам \(\displaystyle a\,\cancel{=}\,1\) и \(\displaystyle a\,\cancel{=}\,3{\small:}\)
Тогда исходное уравнение имеет четыре решения при
\(\displaystyle 0<a<1{\small,}\) \(\displaystyle 1<a<3\) и \(\displaystyle 3<a<4{\small.}\)
Значит, для остальных значений параметра уравнение имеет менее четырех решений.
То есть исходное уравнение имеет менее четырех решений при
\(\displaystyle a\leqslant0{\small,}\) \(\displaystyle a\geqslant4{\small,}\) \(\displaystyle a=1\) и \(\displaystyle a=3{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle a\leqslant0{\small,}\) \(\displaystyle a\geqslant4{\small,}\) \(\displaystyle a=1\) и \(\displaystyle a=3{\small.}\)