Найдите все значения \(\displaystyle a {\small ,}\) при каждом из которых уравнение
\(\displaystyle a^2+2ax-3x^2-4a-4x+8|x|=0\)
имеет меньше четырёх различных корней.
Упростим уравнение, раскрыв модуль.
Для этого рассмотрим два случая: \(\displaystyle x\geqslant0\) и \(\displaystyle x<0{\small.}\)
1. Если \(\displaystyle x\geqslant0{\small,}\) то \(\displaystyle |x|=x{\small.}\) Тогда исходное уравнение принимает вид:
\(\displaystyle a^2+2ax-3x^2-4a-\underline{4x}+\underline{8\color{blue}{x}}=0{\small,}\)
\(\displaystyle a^2+2ax-3x^2-4a+\underline{4x}=0{\small.}\)
Получили квадратное уравнение относительно \(\displaystyle x{\small:}\)
\(\displaystyle -3x^2+(2a+4)x+a^2-4a=0{\small.}\)
Найдем его корни.
\(\displaystyle x_1=-\frac{a-4}{3}\) и \(\displaystyle x_2=a{\small.}\)
Дискриминант уравнения:
\(\displaystyle \begin{aligned}{\rm D}=(2a+4)^2-4\cdot(-3)\cdot(a^2-4a)=(4a^2+16a+16)+(12a^2-48a)=\\=16a^2-32a+16=16(a^2-2a+1)=16(a-1)^2{\small.}\end{aligned}\)
Тогда \(\displaystyle \pm\sqrt{{\rm D}}\) принимает значения
\(\displaystyle \pm4(a-1){\small.}\)
Значит, корни уравнения:
\(\displaystyle x_1=\frac{-(2a+4)+4(a-1)}{2\cdot(-3)}=\frac{2a-8}{-6}=-\frac{a-4}{3}{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-(2a+4)-4(a-1)}{2\cdot(-3)}=\frac{-6a}{-6}=a{\small.}\)
2. Если \(\displaystyle x<0{\small,}\) то \(\displaystyle |x|=-x{\small.}\) Тогда исходное уравнение принимает вид:
\(\displaystyle a^2+2ax-3x^2-4a-\underline{4x}+\underline{8\cdot\color{blue}{(-x)}}=0{\small,}\)
\(\displaystyle a^2+2ax-3x^2-4a-\underline{12x}=0{\small.}\)
Получили квадратное уравнение относительно \(\displaystyle x{\small:}\)
\(\displaystyle -3x^2+(2a-12)x+a^2-4a=0{\small.}\)
Найдем его корни.
\(\displaystyle x_1=-\frac{a}{3}\) и \(\displaystyle x_2=a-4{\small.}\)
Дискриминант уравнения:
\(\displaystyle \begin{aligned}{\rm D}=(2a-12)^2-4\cdot(-3)\cdot(a^2-4a)=(4a^2-48a+144)+(12a^2-48a)=\\=16a^2-96a+144=16(a^2-6a+9)=16(a-3)^2{\small.}\end{aligned}\)
Тогда \(\displaystyle \pm\sqrt{{\rm D}}\) принимает значения
\(\displaystyle \pm4(a-3){\small.}\)
Значит, корни уравнения:
\(\displaystyle x_1=\frac{-(2a-12)+4(a-3)}{2\cdot(-3)}=\frac{2a}{-6}=-\frac{a}{3}{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-(2a-12)-4(a-3)}{2\cdot(-3)}=\frac{-6a+24}{-6}=a-4{\small.}\)
Теперь необходимо определить, когда у уравнения меньше четырех корней.
Способ 1 (графический)
По формуле
\(\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2){\small,}\) где \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2\) – корни уравнения,
получаем для каждого случая разложение на множители:
Для \(\displaystyle x\geqslant0\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x_1=\color{blue}{-\frac{a-4}{3}}\) и \(\displaystyle x_2=\color{blue}{a}{\small.}\) Тогда его разложение на множители: \(\displaystyle -3\cdot\left(x-\left(\color{blue}{-\frac{a-4}{3}}\right)\right)(x-\color{blue}{a})=0{\small,}\) \(\displaystyle (3x+a-4)(x-a)=0{\small.}\) | Для \(\displaystyle x<0\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x_1=\color{green}{-\frac{a}{3}}\) и \(\displaystyle x_2=\color{green}{a-4}{\small.}\) Тогда его разложение на множители: \(\displaystyle -3\cdot\left(x-\left(\color{green}{-\frac{a}{3}}\right)\right)(x-(\color{green}{a-4}))=0{\small,}\) \(\displaystyle (3x+a)(x-a+4)=0{\small.}\) |
Построим на плоскости множество решений \(\displaystyle (x;a)\) данных уравнений.
При этом каждому значению \(\displaystyle a\) будет соответствовать один (или несколько) корней уравнения \(\displaystyle x{\small.}\)
Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Получаем:
Для \(\displaystyle x\geqslant0\)
| Для \(\displaystyle x<0\)
|
Для каждой точки \(\displaystyle (x;a)\) значение \(\displaystyle x\) – это корень уравнения для некоторого \(\displaystyle a{\small.}\)
Значит, нам нужно найти те значения \(\displaystyle a,\) которые дадут менее четырех значений для \(\displaystyle x{\small.}\)
Получаем:
- при \(\displaystyle a=0{\small,}\) \(\displaystyle a=1{\small,}\) \(\displaystyle a=3\) и \(\displaystyle a=4\) множество решений состоит из трех точек.
- при \(\displaystyle a<0\) и \(\displaystyle a>4\) множество решений состоит из двух точек.
- при остальных значениях параметра \(\displaystyle a\) множество решений состоит из четырех точек.
Тогда исходное уравнение имеет менее четырех корней при значениях параметра \(\displaystyle a{\small:}\)
\(\displaystyle a\leqslant0{\small,}\) \(\displaystyle a\geqslant4{\small,}\) \(\displaystyle a=1\) и \(\displaystyle a=3\)
Ответ: \(\displaystyle a\leqslant0{\small,}\) \(\displaystyle a\geqslant4{\small,}\) \(\displaystyle a=1\) и \(\displaystyle a=3{\small.}\)