Уравнение \(\displaystyle 2\sin\left (x+\frac{\pi}{3} \right)+\cos(2x)=\sqrt{3}\cos(x)+1\) равносильно двум уравнениям:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}{\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) имеет решения:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
Выберите корни уравнения \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) из промежутка \(\displaystyle \left[-3\pi;\, -\frac{3\pi}{2}\right]{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=-\frac{11\pi}{6}\)
Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[-3\pi;\, -\frac{3\pi}{2}\right]{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle -3\pi\leqslant x_1 \leqslant -\frac{3\pi}{2}{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle -3\pi\leqslant \frac{\pi}{6}+2\pi n \leqslant -\frac{3\pi}{2}{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle -3\leqslant \frac{1}{6}+2n\leqslant -\frac{3}{2}{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{1}{6}{\small :}\)
\(\displaystyle -3- \frac{1}{6}\leqslant \frac{1}{6}+2n- \frac{1}{6}\leqslant -\frac{3}{2}- \frac{1}{6}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{19}{6}\leqslant2n \leqslant -\frac{5}{3}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle -\frac{19}{12}\leqslant n \leqslant -\frac{5}{6}{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle -1{\small,}\) то есть \(\displaystyle n=-1{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=-1\) в \(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi \cdot (-1)=-\frac{11\pi}{6}{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle -3\pi\leqslant x_2 \leqslant -\frac{3\pi}{2}{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle -3\pi\leqslant \frac{5\pi}{6}+2\pi n \leqslant -\frac{3\pi}{2}{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle -3\leqslant \frac{5}{6}+2n\le -\frac{3}{2}{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{5}{6}{\small :}\)
\(\displaystyle -3- \frac{5}{6}\leqslant \frac{5}{6}+2n - \frac{5}{6}\leqslant -\frac{3}{2}- \frac{5}{6}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{23}{6}\leqslant2n \leqslant -\frac{7}{3}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle -\frac{23}{12}\leqslant n \leqslant -\frac{7}{6}{ \small .}\)
Целых чисел в данном промежутке НЕТ.
Таким образом, уравнение \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1 }{2}\) на отрезке \(\displaystyle \left[-3\pi;\, -\frac{3\pi}{2}\right]\) имеет решение \(\displaystyle -\frac{11\pi}{6}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{11\pi}{6}{\small .}\)