Теория: 09 Уравнение \(\displaystyle 2\sin\left (x+\frac{\pi}{3} \right)+\cos(2x)=\sqrt{3}\cos(x)+1\)

Приведем все тригонометрические функции к одному аргументу – \(\displaystyle x{\small.}\)

Сначала, используя формулу

 \(\displaystyle \sin(x+y)=\sin(x)\cdot\cos(y)+\cos(x)\cdot\sin(y){\small,}\)

выразим \(\displaystyle \sin\left (x+\frac{\pi}{3} \right)\) через \(\displaystyle \sin(x)\) и \(\displaystyle \cos(x){\small.}\)

Тогда, подставляя в уравнение вместо \(\displaystyle \sin\left (x+\frac{\pi}{3} \right)\) выражение \(\displaystyle \frac{1}{2}\sin(x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x){\small,}\) получаем:

\(\displaystyle 2\color{blue}{\sin\left (x+\frac{\pi}{3} \right)}+\cos(2x)=\sqrt{3}\cos(x)+1{\small,}\)

\(\displaystyle 2\left(\color{blue}{\frac{1}{2}\sin(x)+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)}\right)+\cos(2x)=\sqrt{3}\cos(x)+1{\small.}\)

Упростим уравнение:

\(\displaystyle 2\cdot\frac{1}{2}\sin(x)+\cancel{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)}+\cos(2x)=\cancel{\sqrt{3}\cos(x)}+1{\small,}\)

\(\displaystyle \sin(x)+\cos(2x)=1{\small.}\)

Теперь, с помощью формулы двойного угла, выразим \(\displaystyle \cos(2x)\) через \(\displaystyle \sin(x){\small.}\)

Так как \(\displaystyle \cos(2x)=1-\sin^2(x){\small,}\) то

\(\displaystyle \sin(x)+\color{blue}{\cos(2x)}=1{\small,}\)

\(\displaystyle \sin(x)+\color{blue}{1-2\sin^2(x)}=1{\small.}\)

Решим уравнение:

\(\displaystyle \sin(x)+\cancel{1}-2\sin^2(x)=\cancel{1}{\small,}\)

\(\displaystyle \sin(x)-2\sin^2(x)=0{\small,}\)

\(\displaystyle \sin(x)(1-2\sin(x))=0{\small.}\)

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю:

\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle 1-2\sin(x)=0{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}{\small.}\)