Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 05 Уравнение \(\displaystyle 2\sin^2(x+\pi)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\)

Задание

Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=0\) имеет решения:

\(\displaystyle x_1=2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \)

и

\(\displaystyle x_2=\pi+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)

 

Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) имеет решения:

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\)

и

\(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

Решение

Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=0\) имеет решения:

  • \(\displaystyle \color{black}{x_1=2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small,}}\)
  • \(\displaystyle \color{black}{x_2=\pi+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}}\)

Так как значения синуса лежат на оси \(\displaystyle \rm OY{ \small ,}\) то пересечем прямую \(\displaystyle y=0\) и тригонометрическую окружность.

При этом прямая \(\displaystyle y=0 \) совпадет с осью \(\displaystyle \rm OX{\small : } \)

Получаем два набора решений, соответствующих двум точкам.

Для угла \(\displaystyle 0\) получаем первый набор решений:

\(\displaystyle x_1=0+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
 


Для угла \(\displaystyle \pi\) получаем второй набор решений:

\(\displaystyle x_2=\pi+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) имеет решения:

  • \(\displaystyle \color{black}{x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small,}}\)
  • \(\displaystyle \color{black}{x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}}\)

Так как значения синуса лежат на оси \(\displaystyle \rm OY{ \small ,}\) то пересечем прямую \(\displaystyle y=\frac{1 }{2}\) и тригонометрическую окружность:

Получаем два набора решений, соответствующих двум точкам.

Информация

Таблица значений тригонометрических функций

 \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\)\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\)\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)
\(\displaystyle \sin\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\displaystyle \cos\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)

Так как \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1 }{2}{ \small ,}\) то получаем первый набор решений:

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
 

Чтобы найти второй набор решений, воспользуемся симметричностью точек на окружности и, как следствие, равенством углов.

Тогда величина угла дополняющего угол \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) до \(\displaystyle \pi\) равна \(\displaystyle \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}{\small:}\)

Получаем второй набор решений:

\(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

 

Значит, два набора решений: \(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)