Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 13 Уравнение \(\displaystyle 2\sin^2(x+\pi)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\)

Задание

Уравнение

 \(\displaystyle 2\sin^2(x+\pi)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\)

равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям:

\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}{\small .}\)

Решение

Упростим выражения \(\displaystyle \sin\left(x+\pi\right)\) и \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right){\small,}\) используя формулы приведения:

\(\displaystyle \color{blue}{\sin(x+\pi)=-\sin(x)}\) и \(\displaystyle \color{green}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)}{\small.}\)

Получаем:

 \(\displaystyle 2\color{blue}{\sin^2(x+\pi)}-\color{green}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=0{\small,}\)

 \(\displaystyle 2\color{blue}{(-\sin(x))^2}-\color{green}{\sin(x)}=0{\small,}\)

 \(\displaystyle 2\color{blue}{\sin^2(x)}-\sin(x)=0{\small.}\)
 

Сделаем замену \(\displaystyle y=\sin(x){\small:}\)

 \(\displaystyle 2y^2-y=0{\small.}\)

Вынесем \(\displaystyle y\) за скобку:

 \(\displaystyle y(2y-1)=0{\small.}\)


Произведение двух множителей равно нулю, значит, один из множителей равен нулю:

\(\displaystyle y=0\) или \(\displaystyle 2y-1=0{\small.}\)

То есть 

\(\displaystyle y=0\) или \(\displaystyle y=\frac{1}{2}{\small.}\)


Так как \(\displaystyle y=\sin(x){\small,}\) получаем элементарные тригонометрические уравнения 

\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}{\small.}\)