Skip to main content

Теория: 03 Уравнение \(\displaystyle \cos(x)\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=\cos(x+\pi)\)

Задание

Решите уравнение

\(\displaystyle \cos(x)\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=\cos(x+\pi)\)

и выберите корни из промежутка \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi\right]{\small.}\)

Решение

1. Упростим уравнение.

Во-первых, упростим аргумент косинуса в правой части. Для этого воспользуемся формулой приведения:

\(\displaystyle \cos(x+\pi)=-\cos(x){\small.}\)

Получаем:

 \(\displaystyle \cos(x)\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=\color{blue}{\cos(x+\pi)}{\small.}\)

 \(\displaystyle \cos(x)\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=\color{blue}{-\cos(x)}{\small.}\)

Во-вторых, упростим скобку. Отметим, что выражение в скобке совпадает с формулой половинного угла:

\(\displaystyle \cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1{\small.}\)

Тогда

 \(\displaystyle \cos(x)\color{blue}{\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)}={-\cos(x)}{\small,}\)

 \(\displaystyle \cos(x)\cdot\color{blue}{\cos(x)}={-\cos(x)}{\small.}\)

Полученное уравнение можно сократить на \(\displaystyle \cos(x){\small,}\) если он не равен \(\displaystyle 0{\small.}\)

Тогда либо \(\displaystyle \cos(x)=0{\small,}\) либо, сокращая левую и правую часть на \(\displaystyle \cos(x){\small,}\) получаем:

 \(\displaystyle \cos(x)=-1{\small.}\)


Таким образом, уравнение \(\displaystyle \cos(x)\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=\cos(x+\pi)\) равносильно двум элементарным тригонометрическим:

\(\displaystyle \cos(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=-1{\small.}\)


2. Решим полученные элементарные тригонометрические уравнения.

Уравнение \(\displaystyle \cos(x)=0\) имеет решения:

  • \(\displaystyle \color{black}{x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z}}{\small,} \)
  • \(\displaystyle \color{black}{x_2=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}}\)

Так как значения косинуса лежат на оси \(\displaystyle \rm OX{ \small ,}\) то пересечем прямую \(\displaystyle x=0\) и тригонометрическую окружность.

При этом прямая \(\displaystyle x=0 \) совпадет с осью \(\displaystyle \rm OY{\small : } \)

Получаем два набора решений, соответствующих двум точкам.

Для угла \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) получаем первый набор решений:

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
 


Для угла \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}\) получаем второй набор решений:

\(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

 

Таким образом, получаем два набора решений:

  • \(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small,}\)
  • \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)

Уравнение \(\displaystyle \cos(x)=-1\) имеет одно решение:

\(\displaystyle \color{black}{x_1=\pi+2\pi n\,\,n\in\mathbb{Z}{\small.}}\)

Так как значения косинуса лежат на оси \(\displaystyle \rm OX{ \small ,}\) то пересечем прямую \(\displaystyle x=-1\) и тригонометрическую окружность:

Получаем один набор решений соответствующий точке пересечения \(\displaystyle (-1;\,0){\small:}\)

\(\displaystyle x_1=\pi+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
 


Значит, уравнение \(\displaystyle \cos(x)=-1\) имеет одно решение:

\(\displaystyle x_1=\pi+2\pi n\,\,n\in\mathbb{Z}{\small.}\)

3. Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi\right]{\small .}\)

Для \(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi n\) подходит решение \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\).

Выделим отрезок \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi\right]\) на тригонометрической окружности:

Видим, что одна из точек вида \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n\) попала в необходимый отрезок.

Найдем ее.

 Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqslant x_1 \leqslant 2\pi{ \small .}\)

 То есть

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{2}+2\pi n\leqslant 2\pi{ \small .}\)

 Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{1}{2}\leqslant \frac{1}{2}+2n\leqslant 2{\small .}\)

 Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{1}{2}- \frac{1}{2}\leqslant 2n\leqslant 2- \frac{1}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 0\leqslant2n\leqslant \frac{3}{2}{ \small .}\)

 Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)

\(\displaystyle 0\leqslant n \leqslant \frac{3}{4}{ \small ,}\)

Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle 0,\) то есть \(\displaystyle n=0{\small .}\)

 Подставляя \(\displaystyle n=0\) в \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 0=\frac{\pi}{2}{\small .}\)

Для \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\) подходит решение \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\).

Таким образом, уравнение \(\displaystyle \cos(x)=0\) на отрезке \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\,2\pi\right]\) имеет решения \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) и \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}{\small .}\)

 

Теперь выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi\right]\) для уравнения \(\displaystyle \cos(x)=-1{\small.}\)

Для \(\displaystyle x_1=\pi+2\pi n\) подходит решение \(\displaystyle \pi{\small.}\)

Таким образом, уравнение \(\displaystyle \cos(x)=-1\) на отрезке \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi\right]\) имеет решение \(\displaystyle \pi{\small .}\)

Значит, всего в отрезок \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi\right]\) попадает три корня:

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{2}{\small,}\,\,\,x_2=\frac{3\pi}{2}\) и \(\displaystyle x_3=\pi{\small .}\)