Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Уравнение \(\displaystyle \cos(x)\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=\cos(x+\pi)\)

Задание

Уравнение

\(\displaystyle \cos(x)\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=\cos(x+\pi){\small.}\)

равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям:

\(\displaystyle \cos(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=-1{\small.}\)

Решение

Необходимо упростить уравнение.

Поэтому выразим \(\displaystyle \cos\left(x+\pi\right) \) через \(\displaystyle \cos(x){ \small ,}\) используя формулу приведения

\(\displaystyle \cos(x+\pi)=-\cos(x){\small.}\)

А чтобы упростить выражение в скобках, воспользуемся формулой половинного угла:

\(\displaystyle \cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1{\small.}\)

 

Упростим правую часть с помощью формулы приведения:

\(\displaystyle \cos(x+\pi)=-\cos(x){\small.}\)

Выражение в скобках упростим с помощью формулы половинного угла:

\(\displaystyle 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\cos(x){\small.}\)

Получаем: 

\(\displaystyle \cos(x)\color{blue}{\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)}=\color{green}{\cos(x+\pi)}{\small,}\)

\(\displaystyle \cos(x)\cdot\color{blue}{\cos(x)}=\color{green}{-\cos(x)}{\small.}\)

Тогда либо \(\displaystyle \cos(x)=0{\small,}\) либо левую и правую часть можно сократить на \(\displaystyle \cos(x){\small:}\)

\(\displaystyle \cos(x)\cdot\cancel{\cos(x)}=\cancel{-\cos(x)}{\small.}\)

\(\displaystyle \cos(x)=-1{\small.}\)

Значит, уравнение \(\displaystyle \cos(x)\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=\cos(x+\pi)\) равносильно двум элементарным тригонометрическим:

\(\displaystyle \cos(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=-1{\small.}\)