Из \(\displaystyle А\) в \(\displaystyle В\) одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью \(\displaystyle 56\)км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на \(\displaystyle 9\)км/ч, в результате чего прибыл в \(\displaystyle В\) одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
По условию автомобили выехали из \(\displaystyle А\) и прибыли в \(\displaystyle В\) одновременно. Значит, они потратили на путь одинаковое время.
При этом первый автомобиль ехал весь путь с одинаковой скоростью, а второй менял скорость на половине пути.
Требуется найти скорость первого автомобиля.
Пусть \(\displaystyle x\)км/ч – скорость первого автомобиля. Тогда \(\displaystyle (x+9)\)км/ч – скорость второго автомобиля на первой половине пути.
Обозначим путь от \(\displaystyle А\) до \(\displaystyle В\) за \(\displaystyle 2S\)км, тогда \(\displaystyle S\)км – это половина пути.
Для удобства расчётов внесём данные о скорости и расстоянии в таблицу и найдем время:
| Автомобиль | \(\displaystyle v\) | \(\displaystyle S=v \cdot t\) | \(\displaystyle t=\frac {S}{v}\) |
| первый | \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle 2S\) | \(\displaystyle \color{green}{ \frac {2S}{x}}\) |
второй, \(\displaystyle 1\)-я половина пути | \(\displaystyle 56\) | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle \frac {S}{56}\) |
второй, \(\displaystyle 2\)-я половина пути | \(\displaystyle x+9\) | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle \frac {S}{x+9}\) |
Время в пути первого автомобиля мы выразили.
Время в пути второго автомобиля найдем как сумму времени, потраченного им на первую и вторую половины пути:
\(\displaystyle \color{blue}{ \frac {S}{56}+\frac {S}{x+9}} {\small .}\)
Приравнивая время автомобилей, получаем уравнение:
\(\displaystyle \color{blue}{ \frac {S}{56}+\frac {S}{x+9}}=\color{green}{ \frac {2S}{x}} {\small .}\)
Сократим обе части уравнения на \(\displaystyle S \,\cancel{=}\,0{\small :}\)
\(\displaystyle \frac {1}{56}+\frac {1}{x+9}=\frac {2}{x} {\small .}\)
Решим полученное уравнение:
\(\displaystyle \frac {1}{56}+\frac {1}{x+9}- \frac {2}{x}=0 {\small .}\)
Приведем к общему знаменателю:
\(\displaystyle \frac{x(x+9)+56x-2 \cdot56 (x+9)}{ 56x(x+9) }=0{\small .} \)
Поскольку \(\displaystyle x \) – это скорость, то \(\displaystyle x>0\) и тогда \(\displaystyle 56x(x+9)>0{\small .} \)
Поэтому можно перейти к уравнению:
\(\displaystyle x(x+9)+56x-112\cdot (x+9)=0{\small .} \)
Раскроем скобки и приведем подобные:
\(\displaystyle x^2+9x+56x-112x-112\cdot9=0{\small ,} \)
\(\displaystyle x^2-47x-1008=0{ \small .} \)
Так как скорость положительна, подходит только ответ \(\displaystyle 63\)км/ч.
Ответ: \(\displaystyle 63{ \small .}\)