В правильной шестиугольной призме \(\displaystyle ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) все рёбра равны \(\displaystyle 1 \small. \) Точки \(\displaystyle G\) и \(\displaystyle H\) – середины рёбер соответственно \(\displaystyle A_1B_1\) и \(\displaystyle B_1C_1 \small. \) Найдите косинус угла между прямыми \(\displaystyle AG\) и \(\displaystyle BH \small. \)
0,9
Решение
По условию задачи в правильной шестиугольной призме \(\displaystyle ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) требуется найти косинус угла между прямыми \(\displaystyle AG\) и \(\displaystyle BH \small, \) где \(\displaystyle G\) и \(\displaystyle H\) – середины рёбер соответственно \(\displaystyle A_1B_1\) и \(\displaystyle B_1C_1 \small. \)
Данные прямые являются скрещивающимися.
Определение
Угол между скрещивающимися прямыми
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между прямыми, параллельными заданным и лежащими в одной плоскости.
Замечание / комментарий
Для построения угла проще всего выбрать точку пространства и через нее провести две прямые, параллельные исходным. Угол между этими прямыми и будет искомым углом.
Построим плоский угол, равный углу между скрещивающимися прямыми \(\displaystyle AG\) и \(\displaystyle BH \small. \)
ПОСТРОЕНИЕ:
Способ 1
Через прямую \(\displaystyle AG\) и точку \(\displaystyle H\) построим плоскость. Затем в этой плоскости через точку \(\displaystyle H\) построим прямую, параллельную \(\displaystyle AG \small. \)
По условию точки \(\displaystyle G\) и \(\displaystyle H\) – середины сторон \(\displaystyle A_1B_1\) и \(\displaystyle B_1C_1\) соответственно. Значит, \(\displaystyle GH\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle A_1B_1C_1\) и \(\displaystyle GH \parallel A_1C_1\small, \) \(\displaystyle GH=\frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \small. \)
В призме боковые рёбра параллельны и равны: \(\displaystyle AA_1 \parallel CC_1 \) и \(\displaystyle AA_1= CC_1 \small. \) Значит, \(\displaystyle AA_1C_1C\) – параллелограмм и \(\displaystyle A_1C_1 \parallel AC \small,\) \(\displaystyle A_1C_1= AC \small. \)
Так как \(\displaystyle GH \parallel A_1C_1\) и \(\displaystyle AC \parallel A_1C_1 \small, \) то \(\displaystyle GH \parallel AC \small. \)
По следствиям из аксиом стереометрии известно, что через две параллельные прямые проходит плоскость , и при том только одна.
Значит, точки \(\displaystyle A \small, \) \(\displaystyle G \small, \) \(\displaystyle H \small, \) \(\displaystyle C \) лежат в одной плоскости и \(\displaystyle AGHC\) – сечение, полученное при пересечении призмы этой плоскостью.
\(\displaystyle GH= \frac{1}{2} \cdot AC \small; \)
\(\displaystyle AG \nparallel CH \small.\)
Значит, \(\displaystyle AGHC\) – трапеция.
Кроме того, в прямоугольных треугольниках \(\displaystyle AA_1G\) и \(\displaystyle CC_1H\small: \) \(\displaystyle AA_1=CC_1 \small, \) \(\displaystyle A_1G=C_1H\small. \) Следовательно, данные треугольники равны по двум катетам. Значит, их гипотенузы равны, \(\displaystyle AG=HC \small. \)
Получили, что боковые стороны трапеции равны, то есть трапеция \(\displaystyle AGHC\) – равнобедренная.
Задача свелась к следующей:
В равнобедренной трапеции \(\displaystyle AGHC\) через точку \(\displaystyle H\) построить прямую, параллельную боковой стороне \(\displaystyle AG \small. \)
Строим \(\displaystyle HK \parallel AG \small, \) при этом получаем:
так как \(\displaystyle GH \parallel AK \) и \(\displaystyle HK \parallel AG \small, \) то \(\displaystyle AGHK \) – параллелограмм. Значит, \(\displaystyle HK=AG \small, \) \(\displaystyle GH=AK\) и точка \(\displaystyle K\) – середина отрезка \(\displaystyle AC \small. \)
Угол между скрещивающимися прямыми \(\displaystyle AG\) и \(\displaystyle BH\) равен углу между пересекающимися прямыми \(\displaystyle BH\) и \(\displaystyle HK \small. \)
\(\displaystyle \angle BHK \) – искомый.
Способ 2
Через точку \(\displaystyle A\) сначала построим плоскость, параллельную плоскости \(\displaystyle BB_1C_1 \small,\) в которой лежит прямая \(\displaystyle BH\small.\) Затем в этой плоскости через точку \(\displaystyle A\) построим прямую, параллельную \(\displaystyle BH \small. \)
Согласно признаку параллельности двух плоскостей
Правило
Признак параллельности двух плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
прямые \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle AA_1\) пересекаются;
\(\displaystyle AD \parallel BC \small; \)
\(\displaystyle AA_1 \parallel BB_1 \small. \)
Далее в плоскости \(\displaystyle AA_1D_1\) через точку \(\displaystyle A\) нужно построить прямую, параллельную прямой \(\displaystyle BH \small. \)
На отрезке \(\displaystyle A_1D_1\) от точки \(\displaystyle A_1\) отложим отрезок \(\displaystyle A_1M=B_1H \small. \)
Прямая \(\displaystyle AM\) параллельна прямой \(\displaystyle BH \small. \) Убедимся в этом:
Так как \(\displaystyle A_1M \parallel B_1H \) и \(\displaystyle A_1M = B_1H \small, \) то по признаку параллелограмма \(\displaystyle A_1MHB_1\) – параллелограмм. Значит, \(\displaystyle \\ MH \parallel A_1B_1\) и \(\displaystyle MH=A_1B_1 \small. \)
В призме соответственные стороны верхнего и нижнего оснований параллельны и равны, то есть \(\displaystyle A_1B_1 \parallel AB \) и\(\displaystyle A_1B_1 = AB \small. \)
Следовательно, \(\displaystyle MH \parallel AB\) и \(\displaystyle MH=AB \small. \) Значит, \(\displaystyle ABHM\) – параллелограмм и \(\displaystyle AM \parallel BH\small, \) \(\displaystyle AM=BH \small. \)
Угол между скрещивающимися прямыми \(\displaystyle AG\) и \(\displaystyle BH\) равен углу между пересекающимися прямыми \(\displaystyle AG\) и \(\displaystyle AM \small. \)
\(\displaystyle \angle MAG \) – искомый.
Замечание / комментарий
Способ построения угла между скрещивающимися прямыми не влияет на величину угла между данными прямыми.
Этот факт следует из теоремы об углах с сонаправленными сторонами.
Правило
Теорема об углах с сонаправленными сторонами.
Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
Поэтому для вычисления косинуса угла между прямыми \(\displaystyle AG\) и \(\displaystyle BH\) можно рассмотреть любой из построенных углов: \(\displaystyle \angle BHK \) или \(\displaystyle \angle MAG \small. \)
Рассмотрим угол \(\displaystyle MAG \small. \)
Для того, чтобы найти косинус угла между прямыми \(\displaystyle AG\) и \(\displaystyle BH \small,\) необходимо вычислить \(\displaystyle \cos \angle MAG \small. \)
Соединим отрезком точки \(\displaystyle G\) и \(\displaystyle M\) и рассмотрим треугольник \(\displaystyle MAG \small. \)
Чтобы вычислить \(\displaystyle \cos \angle MAG\small,\) необходимо найти длины отрезков \(\displaystyle AG\small, \) \(\displaystyle AM\) и \(\displaystyle MG\small. \)
\(\displaystyle AG=\frac{\sqrt{5}}{2} \small. \)
Длину \(\displaystyle AG\) найдем из треугольника \(\displaystyle AA_1G\small. \)