В правильной треугольной призме \(\displaystyle ABCA_1B_1C_1 \small, \) все рёбра которой равны \(\displaystyle 1\small, \) точки \(\displaystyle D \) и \(\displaystyle E \) – середины рёбер соответственно \(\displaystyle A_1B_1\) и \(\displaystyle B_1C_1 \small. \) Найдите косинус угла между прямыми \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BE \small. \)
0,7
Решение
По условию задачи в правильной треугольной призме \(\displaystyle ABCA_1B_1C_1\) требуется найти косинус угла между прямыми \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BE \small, \) где \(\displaystyle D\) и \(\displaystyle E\) – середины рёбер соответственно \(\displaystyle A_1B_1\) и \(\displaystyle B_1C_1 \small. \)
Данные прямые являются скрещивающимися.
Определение
Угол между скрещивающимися прямыми
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между прямыми, параллельными заданным и лежащими в одной плоскости.
Замечание / комментарий
Для построения угла проще всего выбрать точку пространства и через нее провести две прямые, параллельные исходным. Угол между этими прямыми и будет искомым углом.
На прямой \(\displaystyle BE\) выберем точку \(\displaystyle E \small. \)
Через точку \(\displaystyle E\) построим прямую \(\displaystyle EM\small, \) параллельную прямой \(\displaystyle AD \small. \)
ПОСТРОЕНИЕ:
Способ 1
Через прямую \(\displaystyle AD\) и точку \(\displaystyle E\) построим плоскость. Затем в этой плоскости через точку \(\displaystyle E\) построим прямую, параллельную \(\displaystyle AD \small. \)
По условию точки \(\displaystyle D\) и \(\displaystyle E\) – середины сторон \(\displaystyle A_1B_1\) и \(\displaystyle B_1C_1\) соответственно. Значит, \(\displaystyle DE\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle A_1B_1C_1\) и \(\displaystyle DE \parallel A_1C_1\small, \) \(\displaystyle DE=\frac{1}{2} \cdot A_1C_1 \small. \)
В призме \(\displaystyle ABCA_1B_1C_1 \) соответственные стороны верхнего и нижнего оснований параллельны, то есть \(\displaystyle AC \parallel A_1C_1 \small. \)
Так как \(\displaystyle DE \parallel A_1C_1\) и \(\displaystyle AC \parallel A_1C_1 \small, \) то \(\displaystyle DE \parallel AC \small. \)
По следствиям из аксиом стереометрии известно, что через две параллельные прямые проходит плоскость , и при том только одна.
Значит, точки \(\displaystyle A \small, \) \(\displaystyle D \small, \) \(\displaystyle E \small, \) \(\displaystyle C \) лежат в одной плоскости и \(\displaystyle ADEC\) – сечение, полученное при пересечении призмы этой плоскостью.
\(\displaystyle DE= \frac{1}{2} \cdot AC \small; \)
\(\displaystyle AD \nparallel CE \small.\)
Значит, \(\displaystyle ADEC\) – трапеция.
Кроме того, в прямоугольных треугольниках \(\displaystyle AA_1D\) и \(\displaystyle CC_1E\small: \) \(\displaystyle AA_1=CC_1 \small, \) \(\displaystyle A_1D=C_1E\small. \) Следовательно, данные треугольники равны по двум катетам. Значит, их гипотенузы равны, \(\displaystyle AD=EC \small. \) Получили, что боковые стороны трапеции равны, то есть трапеция \(\displaystyle ADEC\) – равнобедренная.
Задача свелась к следующей:
В равнобедренной трапеции \(\displaystyle ADEC\) через точку \(\displaystyle E\) построить прямую, параллельную боковой стороне \(\displaystyle AD \small. \)
Строим \(\displaystyle EM \parallel AD \small, \) при этом получаем:
так как \(\displaystyle ED \parallel AM \) и \(\displaystyle EM \parallel AD \small, \) то \(\displaystyle ADEM \) – параллелограмм. Значит, \(\displaystyle EM=AD \small, \) \(\displaystyle ED=AM\) и точка \(\displaystyle M\) – середина отрезка \(\displaystyle AC \small. \)
Способ 2
Через точку \(\displaystyle E\) сначала построим плоскость, параллельную плоскости \(\displaystyle AA_1B_1 \small,\) в которой лежит прямая \(\displaystyle AD\small.\) Затем в этой плоскости через точку \(\displaystyle E\) построим прямую, параллельную \(\displaystyle AD \small. \)
Согласно признаку параллельности двух плоскостей
Правило
Признак параллельности двух плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
выполним следующие действия:
1. Через точку \(\displaystyle E\) в плоскости \(\displaystyle A_1B_1C_1\) построим прямую \(\displaystyle EN \small, \) параллельную прямой \(\displaystyle A_1B_1\small. \)
При этом:
прямая \(\displaystyle EN\) пересекает прямую \(\displaystyle A_1C_1\) в точке \(\displaystyle N \small; \)
точка \(\displaystyle E\) – середина отрезка \(\displaystyle B_1C_1 \small; \)
\(\displaystyle EN \parallel A_1B_1 \small. \)
Следовательно, \(\displaystyle EN\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle A_1B_1C_1 \) и точка \(\displaystyle N\) – середина отрезка \(\displaystyle A_1C_1\small. \)
2. Через точку \(\displaystyle N\) в плоскости \(\displaystyle AA_1C_1 \) построим прямую \(\displaystyle NM\small, \) параллельную прямой \(\displaystyle AA_1 \small, \) а в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1\) через точку \(\displaystyle E\) – прямую \(\displaystyle EK\small,\) параллельную прямой \(\displaystyle BB_1\small.\)
При этом:
прямая \(\displaystyle NM\) пересекает прямую \(\displaystyle AC\) в точке \(\displaystyle M \small; \)
\(\displaystyle NM \parallel AA_1 \small; \)
\(\displaystyle AM \parallel A_1N \small. \)
Следовательно, \(\displaystyle AA_1NM\) – параллелограмм и \(\displaystyle AM=A_1N\small. \)
Значит, точка \(\displaystyle M\) – середина отрезка \(\displaystyle AC \small. \)
Аналогично, \(\displaystyle K\) – середина отрезка \(\displaystyle BC \small. \)
прямые \(\displaystyle NE\) и \(\displaystyle NM\) пересекаются;
\(\displaystyle NE \parallel A_1B_1\) и \(\displaystyle NM \parallel AA_1 \small. \)
Далее в плоскости \(\displaystyle ENM\) через точку \(\displaystyle E\) нужно построить прямую, параллельную прямой \(\displaystyle AD \small. \)
4. Прямая \(\displaystyle EM\) параллельна прямой \(\displaystyle AD \small. \) Убедимся в этом:
Точки \(\displaystyle D\) и \(\displaystyle E\) – середины сторон \(\displaystyle A_1B_1\) и \(\displaystyle B_1C_1\) соответственно. Значит, \(\displaystyle DE\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle A_1B_1C_1\) и
\(\displaystyle DE \parallel A_1C_1\small, \) \(\displaystyle DE=\frac{1}{2} A_1C_1 \small. \)
Так как точка \(\displaystyle M\) – середина отрезка \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle AC \parallel A_1C_1 \small, \) то
\(\displaystyle AM \parallel A_1C_1 \small, \) и \(\displaystyle AM=\frac{1}{2}A_1C_1 \small. \)
Следовательно, \(\displaystyle DE\parallel AM\) и \(\displaystyle DE= AM \small. \)
Значит, \(\displaystyle AMED\) – параллелограмм и
\(\displaystyle EM \parallel AD \small, \) \(\displaystyle EM=AD \small. \)
Угол между скрещивающимися прямыми \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BE\) равен углу между пересекающимися прямыми \(\displaystyle EM\) и \(\displaystyle BE \small. \) Для того, чтобы найти косинус угла между прямыми \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BE \small, \) необходимо вычислить \(\displaystyle \cos \angle BEM \small. \)
Соединим отрезком точки \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle M\) и рассмотрим треугольник \(\displaystyle BEM \small. \)
По теореме косинусов
\(\displaystyle BM^2=BE^2+EM^2-2 \cdot BE \cdot EM \cdot \cos \angle BEM \small. \)
Выразим косинус угла \(\displaystyle BEM \small: \)
\(\displaystyle \cos \angle BEM=\frac{BE^2+EM^2-BM^2}{2 \cdot BE \cdot EM} \small.\)
Чтобы вычислить \(\displaystyle \cos \angle BEM\small,\) необходимо найти длины отрезков \(\displaystyle BE\small, \) \(\displaystyle EM\) и \(\displaystyle BM \small. \)
\(\displaystyle BE=\frac{\sqrt{5}}{2} \small. \)
Длину \(\displaystyle BE\) найдем из треугольника \(\displaystyle BB_1E\small. \)