В арифметической прогрессии \(\displaystyle a_{10} = 7{\small .}\) Найти сумму \(\displaystyle S_{19}\) первых девятнадцати членов данной прогрессии.
Решение 1.
Найдем сумму
\(\displaystyle S_{19}=a_1+a_2+\ldots+a_{19}{ \small ,} \)
используя характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Обобщенное характеристическое свойство арифметической прогрессии
\(\displaystyle a_{n-k}+a_{n+k}=2\cdot a_{n}\)
\(\displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{l}+a_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=k+l.\)
Согласно этому свойству,
\(\displaystyle a_1 + a_{19} = 2a_{10}{ \small ,}\)
\(\displaystyle a_2 + a_{18} = 2a_{10}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \ldots \)
\(\displaystyle a_{9} + a_{11} = 2a_{10}{ \small .}\)
Всего таких пар будет девять, так как в первой паре есть первый элемент, во второй - второй, и т.д., а в последней - девятый.
Выделим эти пары в исходной сумме \(\displaystyle S_{19}{\small .} \)
Тогда будут использованы все элементы, за исключением десятого.
Получаем:
\(\displaystyle S_{19} = a_1 + a_2 + ... + a_{19} { \small ,}\)
\(\displaystyle S_{19} = (a_1 + a_{19})+(a_2 + a_{18})+\ldots+(a_{9} + a_{11}) + a_{10}{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{19} = \underbrace{2a_{10} + 2a_{10} + ... + 2a_{10}}_{9 \text{ раз}}+ a_{10}{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{19} = {9}\cdot 2a_{10}+a_{10}{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{19} = 19a_{10}{ \small .}\)
Так как по условию \(\displaystyle a_{10}=7{ \small ,} \) то
\(\displaystyle S_{19} = 19 \cdot 7{ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{19} = 133{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 133{\small .}\)
Решение 2.
Выразим сумму
\(\displaystyle S_{19}=a_1+a_2+\ldots+a_{19} \)
через \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{\small .} \)
Поскольку
\(\displaystyle a_2=a_1+d{ \small ,}\quad a_3=a_1+2d{ \small ,}\quad \ldots{ \small ,}\quad a_{19}=a_1+18d{ \small ,} \)
то получаем:
\(\displaystyle S_{19}=a_1+ (a_1+d)+(a_1+2d)+\ldots+(a_1+18d){ \small .}\)
Сложим отдельно \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small .} \) Тогда
\(\displaystyle S_{19}=\underbrace{a_1 + a_1 + ... + a_1}_{19 \text{ раз}}+ (d+2d+\ldots+18d){ \small ,}\)
\(\displaystyle S_{19}=19a_1+ d\cdot (1+2+\ldots+18){ \small .}\)
Посчитаем отдельно сумму
\(\displaystyle 1+2+\ldots+18{\small .} \)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned} 1+2+\ldots+18=(1+18)+&(2+17)+\ldots+(9+10)=\\&=\underbrace{19+19+\ldots+19}_{9\text{ раз}}=9\cdot 19=171{\small .}\end{aligned} \)
Подставляя в \(\displaystyle S_{19}{ \small ,} \) получаем:
\(\displaystyle S_{19}=19a_1+ d\cdot 171=19a_1+ 171d=19(a_1+9d){ \small .}\)
Поскольку \(\displaystyle a_1+9d=a_{10} \) и по условию \(\displaystyle a_{10}=7{ \small ,} \) то
\(\displaystyle S_{19}=19a_{10}=19\cdot 7=133{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 133{\small .}\)