Бригада маляров красит забор длиной \(\displaystyle 360\) метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила \(\displaystyle 80\) метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Пусть \(\displaystyle a_n\) – длина покрашенной части забора в метрах в \(\displaystyle n\)-й день, \(\displaystyle n=1,2,...{\small .}\)
По условию, \(\displaystyle a_{n+1}-a_n{\small }\) одно и то же для всех \(\displaystyle n{\small .}\)
Значит, последовательность чисел
\(\displaystyle a_1,\, a_2,\ldots,\, a_{n},\ldots\)
– арифметическая прогрессия.
В задаче требуется найти \(\displaystyle n\) такое, что \(\displaystyle S_{n}=360{\small .}\)
По условию, \(\displaystyle a_1+a_{n}=80{\small .}\)
Воспользуемся формулой для суммы первых \(\displaystyle n \) членов арифметической прогрессии
\(\displaystyle S_n= \frac{ a_1+a_n}{ 2 }\cdot n {\small .}\)
Так как \(\displaystyle a_{1}+a_{n}=80{\small}\) и \(\displaystyle S_{n}=360{ \small ,}\) то
\(\displaystyle 360= \frac{ 80}{ 2 }\cdot n{ \small ,}\)
\(\displaystyle 360= { 40}\cdot n{ \small ,}\)
\(\displaystyle n=9{ \small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 9{\small .}\)