Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Работа

Задание

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на \(\displaystyle 8\)вопросов теста, а Ваня – на \(\displaystyle 9\). Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на \(\displaystyle 20\)минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение

Первый способ:

Задача, которую требуется решить, – аналог задачи на скорость и расстояние. В данном случае:

  • расстояние – это количество вопросов в тесте;
  • скорость – это количество вопросов, на которые был дан ответ, за час.


Обозначим количество вопросов в тесте за \(\displaystyle x {\small.}\)

По условию:

  • скорость ответов Пети составляет \(\displaystyle 8\) вопросов в час;
  • скорость Вани составляет \(\displaystyle 9\) вопросов в час.

Найдём время ответов на тест (сразу переведем из часов в минуты):

  • Петя ответит на все вопросы за \(\displaystyle \frac{x}{8} \)часа или \(\displaystyle \frac{x}{8}\cdot60= \frac{60x}{8}\)минут;
  • Ваня ответит на все вопросы за \(\displaystyle \frac{x}{9} \) часа или \(\displaystyle \frac{x}{9}\cdot60=\frac{60x}{9}\)минут.

Разница во времени ответов составит

\(\displaystyle \frac{60x}{8}-\frac{60x}{9} \)минут.

С другой стороны, по условию Петя закончил свой тест позже Вани на \(\displaystyle 20\)минут.

Приравнивая, получаем:

\(\displaystyle \frac{60x}{8}-\frac{60x}{9} =20{ \small .}\)

Решим полученное уравнение.

Преобразуем левую часть:

\(\displaystyle \frac{60x}{8}-\frac{60x}{9} =60x \cdot\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\right)=60x \cdot\frac{1}{72}=\frac{5x}{6}{ \small .}\)

Значит, 

\(\displaystyle \frac{5x}{6}=20{ \small ,} \,\bigg| \red{\cdot 6}\)

\(\displaystyle 5x=120{ \small ,}\)

откуда 

\(\displaystyle x=24{ \small .}\)

Таким образом, тест содержит \(\displaystyle 24\) вопроса.

Ответ: \(\displaystyle 24\)

 

Второй способ:

Пусть тест содержит \(\displaystyle x\)вопросов.

Найдем сколько минут требуется Пете и Ване, чтобы ответить на один вопрос.

Скорость ответов Вани –\(\displaystyle 8\)вопросов за час (\(\displaystyle 1\) час \(\displaystyle =60\)минут), то есть Ване потребуется
\(\displaystyle \frac{60}{8}=\frac{15}{2}\)минуты, чтобы ответить на один вопрос.

Скорость Пети – \(\displaystyle 9\)вопросов за час, поэтому Пете потребуется \(\displaystyle \frac{60}{9}=\frac{20}{3}\)минуты, чтобы ответить на один вопрос.

Тогда на \(\displaystyle x\)вопросов теста

  • Ваня затратит \(\displaystyle x\cdot \frac{15}{2}\)минут,
  • Петя – \(\displaystyle x\cdot \frac{20}{3}\)минут.

По условию Петя закончил свой тест позже Вани на \(\displaystyle 20\) минут. Значит, время Пети на \(\displaystyle 20\) мин больше, чем время Вани.

Составим уравнение:

\(\displaystyle x\cdot \frac{15}{2}-x\cdot \frac{20}{3}=20{\small .}\)

Решим полученное уравнение:

\(\displaystyle \frac{15x}{2}-\frac{20x}{3}=20\,\,\,\,\bigg| \red{\cdot 6}\) 

\(\displaystyle 45x-40x=120{ \small ,}\)

\(\displaystyle 5x =120 { \small ,}\)

откуда

\(\displaystyle x =24{\small .}\)

Значит, тест содержит \(\displaystyle 24\) вопроса.

Ответ: \(\displaystyle 24\)