Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью \(\displaystyle 40\) км/ч, вторую треть – со скоростью \(\displaystyle 60\) км/ч, а последнюю – со скоростью \(\displaystyle 120\) км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Для нахождения средней скорости на протяжении всего пути нужно весь путь поделить на все время движения.
Для удобства обозначим весь путь через \(\displaystyle 3S{\small .}\) Тогда треть пути – это \(\displaystyle S{\small .}\)
Внесём данные о расстоянии и скорости в таблицу и найдем время:
\(\displaystyle S\) | \(\displaystyle v\) скорость, км/ч | \(\displaystyle t=\frac{S}{v}\) время, ч. | |
| 1 | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle 40\) | \(\displaystyle \frac{S}{40}\) |
| 2 | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle 60\) | \(\displaystyle \frac{S}{60}\) |
| 3 | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle 120\) | \(\displaystyle \frac{S}{120}\) |
| Итого | \(\displaystyle \red{3S}\) | – | \(\displaystyle \frac{S}{40}+\frac{S}{60}+\frac{S}{120}\) |
Найдем общее время в пути:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{S}{40}+\frac{S}{60}+\frac{S}{120} &= \frac{3S}{120}+\frac{2S}{120}+\frac{S}{120} = \\[10px]&= \frac{3S+2S+S}{120} = \frac{6S}{120} = \blue{\frac{S}{20}}{\small .}\end{aligned}\)
Значит, в сумме автомобиль проехал \(\displaystyle \red{3S}\) км и потратил на весь путь \(\displaystyle \blue{\frac{S}{20}}\) часов.
Найдём среднюю скорость:
\(\displaystyle v_{\text ср} = \frac{\red{3S}}{\blue{\frac{S}{20}}} = 3S \cdot \frac{20}{S} = 60\) км/ч.
Ответ: \(\displaystyle 60\)