В равнобедренной трапеции основания равны \(\displaystyle 12\) и \(\displaystyle 27\small,\) периметр равен \(\displaystyle 69\small.\) Найдите острый угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
Пусть \(\displaystyle AD=27\) и \(\displaystyle BC=12\) – основания, \(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\) Проведем высоты \(\displaystyle BH_1 \) и \(\displaystyle CH_2 \) трапеции \(\displaystyle ABCD\small.\) Поскольку основания трапеции параллельны, а высоты трапеции перпендикулярны основаниям, \(\displaystyle BH_1 H_2 C \) – прямоугольник. Тогда \(\displaystyle H_1 H_2 =BC=12\small .\) |  |
Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH_1\) и \(\displaystyle DCH_2\) равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\) и катету \(\displaystyle BH_1=CH_2\small.\) Значит, \(\displaystyle AH_1=DH_2=\frac{1}{2}(AD-H_1H_2)\small,\) \(\displaystyle AH_1=\frac{1}{2}(27-12)=\frac{1}{2}\cdot 15=7{,}5\small.\) Поскольку периметр трапеции равен \(\displaystyle 69\small,\) то \(\displaystyle \begin{aligned} AB=CD&=\frac{1}{2}(P-AD-BC)=\\ &=\frac{1}{2}(69-27-12)=\frac{1}{2}\cdot 30=15\small. \end{aligned}\) |  |
Острый угол \(\displaystyle A\) трапеции найдем из прямоугольного треугольника \(\displaystyle AH_1B\small.\) Нам известны катет \(\displaystyle AH_1=7{,}5\) и гипотенуза \(\displaystyle AB=15\small.\) Так как катет в \(\displaystyle 2\) раза меньше гипотенузы, то против этого катета лежит Сумма углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}\small,\) поэтому \(\displaystyle \angle H_1AB=180^{\circ}-\angle AH_1B-\angle H_1BA\small,\) \(\displaystyle \angle H_1AB=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\small.\) |  |
Ответ: \(\displaystyle 60^{\circ}\small.\)