Теория: 01 Максимум и минимум (степенные и иррациональные функции)

Согласно правилам дифференцирования \(\displaystyle (c\cdot f(x))^{\prime}=c\cdot(f(x))^{\prime}\) для любого числа \(\displaystyle c{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle\left(\color{blue}{-}\frac{x^2+16}{x}\right)^{\prime}=\color{blue}{-}\left(\frac{x^2+16}{x}\right)^{\prime}\)

Воспользуемся правилом дифференцирования частного:

Получаем:

\(\displaystyle-\left(\frac{\color{green}{x^2+16}}{\color{blue}{x}}\right)^{\prime}=-\frac{\left(\color{green}{x^2+16}\right)^{\prime}\cdot\color{blue}{x}-\left(\color{green}{x^2+16}\right)\left(\color{blue}{x}\right)^{\prime}}{\left(\color{blue}{x}\right)^2}{\small .}\)

Вычислим производные:

• \(\displaystyle \color{green}{\left(x^2+16\right)^{\prime}}= \color{green}{\left(x^2\right)^{\prime}+(16)^{\prime}}= \color{green}{2x+0}= \color{green}{2x}{\small,} \)
• \(\displaystyle \color{blue}{\left(x\right)^{\prime}}= \color{blue}{1}{\small.} \)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}-\frac{\color{green}{\left(x^2+16\right)^{\prime}}\cdot{x}-\left({x^2+16}\right)\color{blue}{\left(x\right)^{\prime}}}{\left(\color{blue}{x}\right)^2}&=-\frac{\color{green}{2x}\cdot{x}-\left({x^2+16}\right)\cdot\color{blue}{1}}{x^2}=-\frac{2x^2-x^2-16}{x^2}=\\[5px]&=\frac{16-x^2}{{x^2}}{\small.}\end{aligned}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(-\frac{x^2+16}{x}\right)^{\prime}=\frac{16-x^2}{{x^2}}{\small.}\)

Найдем корни числителя этого рационального выражения:

\(\displaystyle 16-x^2=0{\small ,}\)

\(\displaystyle 16=x^2{\small ,} \)

\(\displaystyle x^2=16{\small ,} \)

\(\displaystyle x=4\) и \(\displaystyle x=-4{\small.}\)

Найдем корни знаменателя:

\(\displaystyle x^2=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=0{\small.}\)

Отметим корни числителя и знаменателя производной на числовой прямой. Учитывая область определения исходной функции \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,0{\small,}\) получаем:

Таким образом, интервалы знакопостоянства производной:

\(\displaystyle {(-\infty;\,-4)}{\small,}\) \(\displaystyle {(-4;\, 0)}{\small,}\) \(\displaystyle {(0;\,4)}{\small,}\) \(\displaystyle {(4;\, +\infty)}{\small.}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{16-x^2}{{x^2}}\) на каждом из интервалов:

\(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,-4)}{\small,}\) \(\displaystyle \textcolor{Purple}{(-4;\, 0)}{\small,}\) \(\displaystyle \color{black}{(0;\,4)}{\small,}\) \(\displaystyle \color{blue}{(4;\, +\infty)}{\small.}\)

Для этого выберем по точке на каждом из интервалов и определим в этой точке знак функции. Получаем:

• для \(\displaystyle \color{green}{x=-30\in(-\infty;\,-4)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\color{green}{-30})=\frac{16-(-30)^2}{{(-30)^2}}=\frac{16-900}{900}=\frac{-884}{900}\color{red}{<}0{\small ;}\)
• для \(\displaystyle \textcolor{Purple}{x=-1\in(-4;\, 0)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\textcolor{Purple}{-1})=\frac{16-(-1)^2}{{(-1)^2}}=\frac{16-1}{1}=15\color{red}{>}0{\small ;}\)
• для \(\displaystyle \textcolor{black}{x=1\in(0;\, 4)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\color{black}{1})=\frac{16-1^2}{{1^2}}=\frac{16-1}{1}=15\color{red}{>}0{\small ;}\)
• для \(\displaystyle \textcolor{blue}{x=30\in(4;\, +\infty)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\color{blue}{30})=\frac{16-30^2}{{30^2}}=\frac{16-900}{900}=\frac{-884}{900}\color{red}{<}0{\small .}\)

Значит,

• на интервалах \(\displaystyle \textcolor{Purple}{(-4;\, 0)}\) и \(\displaystyle \color{black}{(0;\,4)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
• на интервалах \(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,-4)}\) и \(\displaystyle \color{blue}{(4;\, +\infty)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)