Теория: 01 Максимум и минимум (степенные и иррациональные функции)

Раскроем скобки. Производная суммы равна сумме производных.

То есть 

\(\displaystyle\left(x^3-12x^2+29\right)^{\prime}=\left(x^3\right)^{\prime}-\left(12x^2\right)^{\prime}+(29)^{\prime}{\small.}\)

Согласно правилам дифференцирования \(\displaystyle (c\cdot f(x))^{\prime}=c\cdot f^{\prime}(x)\) для любого числа \(\displaystyle c{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle\left(x^3\right)^{\prime}-\left(\color{blue}{12x^2}\right)^{\prime}+(29)^{\prime}=\left(x^3\right)^{\prime}-\color{blue}{12}\cdot\left(\color{blue}{x^2}\right)^{\prime}+(29)^{\prime}{\small.}\)

Используя таблицу производных, вычислим производные:

• \(\displaystyle \color{green}{\left(x^3\right)^{\prime}= 3\cdot x^{3-1}= 3x^2 }{\small,}\)
• \(\displaystyle \color{blue}{ \left(x^2\right)^{\prime}= 2\cdot x^{2-1}= 2x }{\small,} \)
• \(\displaystyle \color{black}{(29)^{\prime}= 0}{\small.} \)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle\color{green}{\left(x^3\right)^{\prime}}-12\cdot\color{blue}{\left(\color{blue}{x^2}\right)^{\prime}}+\color{black}{(29)^{\prime}}=\color{green}{3x^2}-12\cdot\color{blue}{2x}+\color{black}{0}=3x^2-24x{\small.}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(x^3-12x^2+29\right)^{\prime}=3x^2-24x{\small.}\)

Сократим обе части уравнения на \(\displaystyle 3{\small:}\)

\(\displaystyle 3x^2-24x=0\, | :3\)

\(\displaystyle x^2-8x=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x(x-8)=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=0 \) или \(\displaystyle x=8{\small .} \)

Определим знак функции \(\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-24x\) на каждом из интервалов:

\(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,0)}{\small,}\) \(\displaystyle \color{blue}{(0;\, 8)}{\small,}\) \(\displaystyle \textcolor{Purple}{(8;\, +\infty)}{\small.}\)

Для этого выберем по точке на каждом из интервалов и определим в этой точке знак функции. Получаем:

• для \(\displaystyle \color{green}{x=-10\in(-\infty;\,0)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\color{green}{-10})=3\cdot(-10)^2-24\cdot(-10)=300+240\color{red}{>}0{\small ;}\)
• для \(\displaystyle \color{blue}{x=1\in(0;\, 8)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\color{blue}{1})=3\cdot 1^2-24\cdot 1=3-24\color{red}{<}0{\small ;}\)
• для \(\displaystyle \textcolor{Purple}{x=10\in(8;\, +\infty)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\textcolor{Purple}{10})=3\cdot 10^2-24\cdot10=300-240\textcolor{red}{>}0{\small.}\)

Значит,

• на интервалах \(\displaystyle \color{green}{(-\infty;\,0)}\) и \(\displaystyle \textcolor{Purple}{(8;\, +\infty)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
• на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{(0;\, 8)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)