Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 11 Свойства ромба

Задание

Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до его стороны, если сторона ромба равна \(\displaystyle \sqrt{3}\), а острый угол равен \(\displaystyle 60^\circ.\) 

Решение

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – ромб, \(\displaystyle O\) – точка пересечения его диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD.\)

В задаче требуется найти длину отрезка \(\displaystyle OK.\) 

Поскольку в ромбе диагонали перпендикулярны, то угол \(\displaystyle AOB\) прямой. Так как диагонали являются биссектрисами углов ромба, то \(\displaystyle \angle BAO=30^{\circ}.\)


Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle AOB .\)

В прямоугольном треугольнике с острым углом \(\displaystyle 30^{\circ}\) катет, лежащий против угла \(\displaystyle 30^{\circ},\) равен половине гипотенузы. Значит, 

\(\displaystyle BO=\frac{1}{2}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\)

 По теореме Пифагора

\(\displaystyle AB^2=AO^2+OB^2.\)

Тогда

\(\displaystyle (\sqrt{3})^2=AO^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2,\)

\(\displaystyle 3=AO^2+\frac{3}{4},\)

\(\displaystyle AO^2=3-\frac{3}{4}=\frac{12-3}{4}=\frac{9}{4}.\)

Поскольку длина отрезка положительна, то 

\(\displaystyle AO=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}.\)


\(\displaystyle OK\) – высота треугольника  \(\displaystyle AOB .\) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle AOK .\)

В прямоугольном треугольнике с острым углом \(\displaystyle 30^{\circ}\) катет, лежащий против угла \(\displaystyle 30^{\circ},\) равен половине гипотенузы. Значит, 

\(\displaystyle OK=\frac{1}{2}\cdot AO= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}=0{,}75.\)

Ответ: \(\displaystyle 0{,}75{\small .}\)