Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Тригонометрия (табличные значения, зависимость между функциями одного аргумента)

Задание

Найдите \(\displaystyle 9\tg \bigg(\frac{5\pi}{2} - \alpha \bigg),\) если \(\displaystyle \sin \alpha = -0{,}6 \) и \(\displaystyle \alpha \in \bigg( \pi;\frac{3\pi}{2} \bigg) {\small.}\)

\(\displaystyle 9\tg \bigg(\frac{5\pi}{2} - \alpha \bigg)=\)

Решение

Для выражения \(\displaystyle 9\tg \bigg(\frac{5\pi}{2} - \alpha \bigg)\) применим формулу приведения.

Определим, в какой четверти находится угол \(\displaystyle \frac{5\pi}{2} - \alpha \) (считая, что  \(\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \) ):

В первой четверти тангенс положительный
Так как первое слагаемое имеет вид \(\displaystyle \frac{\pi k}{2} ,\) где \(\displaystyle k\) – целое, то функция меняется

Значит, 

\(\displaystyle 9\tg \bigg(\frac{5\pi}{2} - \alpha \bigg)=9\ctg \alpha{\small.}\)

Найдем \(\displaystyle \ctg\alpha\) по формуле

Правило

\(\displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin \alpha}\)

По условию \(\displaystyle \sin \alpha = -0{,}6{\small.}\) 
Найдем \(\displaystyle \cos \alpha\).


Вспомним основное тригонометрическое тождество.

Правило

\(\displaystyle \cos^2\alpha+\sin^2 \alpha=1\)   

Отсюда получаем:

\(\displaystyle \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha{\small.}\) 

Подставим данное в условии значение \(\displaystyle \sin \alpha = -0{,}6 {:}\)

\(\displaystyle \cos^2\alpha=1-( -0{,}6)^2=1 -0{,}36= 0{,}64{\small.}\)


Если \(\displaystyle \cos^2\alpha=0{,}64,\) то

\(\displaystyle \cos\alpha=\pm \sqrt{0{,}64},\)

\(\displaystyle \cos\alpha=\pm 0{,}8{\small.}\)

Определим, какой именно знак имеет \(\displaystyle \cos\alpha{\small.}\)

По условию \(\displaystyle \alpha \in \left( \pi;\frac{3\pi}{2} \right){\small.}\)

В третьей четверти значение косинуса отрицательно. Следовательно,

\(\displaystyle \cos\alpha=-0{,}8{\small.}\)

Тогда:

\(\displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin \alpha}=\frac{-0{,}8}{-0{,}6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}{\small.}\)


Таким образом, получаем:

\(\displaystyle 9\tg \bigg(\frac{5\pi}{2} - \alpha \bigg)=9\ctg \alpha=9 \cdot \frac{4}{3}=\frac{9 \cdot 4}{3}=12{\small.}\)

 

Ответ:\(\displaystyle 12{\small.}\)