01Математика - Профиль - Прикладные задачи с использованием тригонометрических функций

Задание

Катер должен пересечь реку шириной \(\displaystyle L = 100\) м и со скоростью течения \(\displaystyle u =0{,}5\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(\displaystyle t = \frac{L}{u}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha{ \small ,}\) где \(\displaystyle \alpha \) – острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\displaystyle \alpha \) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше \(\displaystyle 200\) с?

Решение

По условию даны скорость течения \(\displaystyle \color{green}{u}\) м/с и ширина реки \(\displaystyle \color{red}{L}\) м.

Подставим данные значения в формулу для нахождения времени

\(\displaystyle t = \frac{\color{red}{L}}{\color{green}{u}}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha {\small .}\)

Поскольку \(\displaystyle \color{green}{u}= \color{green}{0{,}5}\) и \(\displaystyle \color{red}{L}=\color{red}{100}{ \small ,}\) получаем

\(\displaystyle t = \frac{\color{red}{100}}{\color{green}{0{,}5}}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha { \small ,}\)

\(\displaystyle t = 200\cdot {\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha {\small .}\)

По условию должно выполняться ограничение \(\displaystyle t \leq 200{\small .}\)

Значит, выполняется неравенство

\(\displaystyle 200\cdot {\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha \leq 200{\small .}\)

Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle {200}>0{\small : }\)

\(\displaystyle 200\cdot {\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha \leq 200 \,|\, : (\color{red}{200}){ \small ,}\)

\(\displaystyle {\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha \leq 1{\small .}\)

По условию \(\displaystyle \alpha \) – острый угол. Значит, \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} {\small .}\)

Решим неравенство \(\displaystyle {\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha \leq 1\) на промежутке \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} {\small .}\)

\(\displaystyle 45^{\circ}\leq \alpha <90^{\circ} \) – решение неравенства \(\displaystyle {\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha \leq 1\) на промежутке \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} {\small .}\)

Построим единичную окружность.

Выделим зеленым на единичной окружности промежуток \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} {\small .}\)

Определим, где на промежутке будут находиться все \(\displaystyle \alpha{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle {\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha \leq 1 {\small .}\)

\(\displaystyle {\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha =\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}{ \small ,}\) где \(\displaystyle \cos \alpha \) и \(\displaystyle \sin \alpha \) – это, соответственно, координаты \(\displaystyle \color{red}{x}\) (абсцисса) и \(\displaystyle \color{magenta}{y}\) (ордината) точки \(\displaystyle M(x;y)\) на окружности, полученной поворотом точки \(\displaystyle P(1;0)\) на угол \(\displaystyle \alpha {\small : }\)

Значит, нужно найти все точки промежутка, у которых \(\displaystyle \frac{x}{y} \leq 1{\small .}\)

На нашем промежутке ордината положительна. Домножим обе части неравенства на \(\displaystyle y{ \small ,}\) знак неравенства при этом не изменится:

\(\displaystyle \frac{x}{y} \leq 1 \, |\cdot \color{red}{y} {\small ,}\)

\(\displaystyle x \leq y {\small ,}\)

\(\displaystyle y \geq x {\small .}\)

Условию \(\displaystyle y \geq x \) удовлетворяют точки плоскости, лежащие не ниже прямой \(\displaystyle y=x{\small .}\)

Проведем прямую \(\displaystyle y=x{\small .}\)

Точка пересечения с промежутком \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}\) соответствует углу \(\displaystyle \alpha = 45^{\circ}{\small .}\)

Получаем:

Нас интересуют точки промежутка, лежащие не ниже прямой \(\displaystyle y=x {\small : }\)

На данном промежутке \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}\) неравенство выполняется при

\(\displaystyle 45^{\circ}\leq \alpha <90^{\circ} {\small .}\)

Тогда наименьший острый угол, при котором выполняется данное ограничение, составляет \(\displaystyle 45^{{\circ}}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 45^{\circ}{\small .} \)

Теория: 04 Прикладные задачи с использованием тригонометрических функций