Небольшой мячик бросают под острым углом \(\displaystyle \alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле \(\displaystyle L=\frac{{v_0^2 }}{g}\sin 2\alpha\) (м), где \(\displaystyle v_0=20\) м/с – начальная скорость мячика, а \(\displaystyle g\) – ускорение свободного падения (считайте \(\displaystyle g=10\) м/с2). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной \(\displaystyle 20\) м?
По условию даны начальная скорость мячика \(\displaystyle \color{blue}{v_0}\) и постоянная \(\displaystyle \color{green}{g}{\small .}\)
Подставим данные значения в формулу для расстояния, пролетаемого мячиком,
\(\displaystyle L=\frac{{\color{blue}{v_0}^2 }}{\color{green}{g}}\sin 2\alpha {\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle \color{blue}{v_0}=\color{blue}{20}\) и \(\displaystyle \color{green}{g}=\color{green}{10}{ \small ,}\) то получаем:
\(\displaystyle L=\frac{{\color{blue}{20}^2 }}{\color{green}{10}}\sin 2\alpha { \small ,}\)
\(\displaystyle L=\frac{400 }{10}\sin 2\alpha { \small ,}\)
\(\displaystyle L={40}\cdot \sin 2\alpha {\small .}\)
По условию мячик перелетит реку шириной \(\displaystyle 20\) м. Значит, должно выполняться ограничение
\(\displaystyle L \geq 20 {\small .}\)
Значит, выполняется неравенство
\(\displaystyle {40}\cdot \sin 2\alpha \geq 20{\small .}\)
Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle {40}{\small : }\)
\(\displaystyle {40}\cdot \sin 2\alpha \geq 20 \,|\, : \color{red}{ 40}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \sin 2\alpha \geq \frac{1}{2}{\small .}\)
По условию \(\displaystyle \alpha \) – острый угол. Значит, \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} {\small .}\)
Сделаем замену \(\displaystyle \varphi=2\alpha {\small .}\) Получаем неравенство \(\displaystyle \sin \varphi \geq \frac{1}{2} {\small .}\)
Решим поэтапно получившееся неравенство:
- Сначала найдем ограничения на \(\displaystyle \varphi\) при \(\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} {\small .}\)
- Потом решим неравенство \(\displaystyle \sin \varphi \geq \frac{1}{2} \) при полученных ограничениях на \(\displaystyle \varphi {\small .}\)
- Далее выясним, какие значения принимает \(\displaystyle \alpha \) на множестве решений неравенства \(\displaystyle \sin \varphi \geq \frac{1}{2} {\small .}\)
Получаем:
Тогда наименьший острый угол \(\displaystyle \alpha{ \small ,}\) при котором выполняется данное ограничение, составляет \(\displaystyle 15^{\circ}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 15^{\circ}{\small .} \)