Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой \(\displaystyle y = ax^2 + bx\), где \(\displaystyle a = - \frac{1}{{100}} \) м-1, \(\displaystyle b=1\) – постоянные параметры, \(\displaystyle x\) (м) – смещение камня по горизонтали, \(\displaystyle y\) (м) – высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой \(\displaystyle 8\) м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее \(\displaystyle 1\) метра?
По условию задачи, траектория полeта камня описывается формулой \(\displaystyle y = \color{green}{a}x^2 + \color{magenta}{b}x\). Подставим данные значения параметров \(\displaystyle \color{green}{a} = \color{green}{- \frac{1}{{100}}}, \color{magenta}{b}=\color{magenta}{1}{:}\)
\(\displaystyle y = \color{green}{- \frac{1}{{100}}}x^2 + \color{magenta}{1}\cdot x,\)
\(\displaystyle y = - \frac{1}{{100}}x^2 + x.\)
\(\displaystyle x\) (м) – это расстояние от крепостной стены до машины.
И на расстоянии \(\displaystyle x\) (м) камень должен пролетать над стеной высотой \(\displaystyle 8 \) м на высоте не менее \(\displaystyle 1\) м.
То есть на высоте над землей \(\displaystyle \color{red}{y(x)}\) не менее \(\displaystyle \color{blue}{ 9}\) м.
Записывая это для высоты в виде неравенства, получаем:
\(\displaystyle \color{red}{y(x)}\geq \color{blue}9.\)
Поскольку
\(\displaystyle \color{red}{y} = \color{red}{- \frac{1}{{100}}x^2 + x},\)
то, подставляя, получаем неравенство
\(\displaystyle \color{red}{- \frac{1}{{100}}x^2 + x}\geq \color{blue}9.\)
Решим неравенство методом интервалов.
Преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:
\(\displaystyle - \frac{1}{{100}}x^2 + x\geq 9,\)
\(\displaystyle - \frac{1}{{100}}x^2 + x-9\geq 0.\)
Домножим обе части неравенства на \(\displaystyle - 100{\small .}\) Поскольку \(\displaystyle -100<0{ \small ,} \) то знак неравенства меняется на противоположный:
\(\displaystyle x^2\ - 100x + 900 \leq 0.\)
Найдем корни уравнения \(\displaystyle x^2\ - 100x + 900 = 0.\)
Отметим найденные корни на числовой прямой, закрашивая их (так как знак неравенства нестрогий):
Получаем три интервала:
\(\displaystyle (-\infty;10){ \small ,} \, (10;90)\) и \(\displaystyle (90;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)= x^2\ - 100x + 900 \) на каждом из данных интервалов.
Расставим знаки на интервалах:
Тогда неравенство \(\displaystyle x^2\ - 100x + 900 \leq 0\) имеет решение
\(\displaystyle 10\leq x \leq 90.\)
При полученных значениях \(\displaystyle x\) камни будут пролетать на высоте не менее \(\displaystyle 1\) метра над стеной.
Тогда наибольшее допустимое значение \(\displaystyle x\) составит \(\displaystyle 90\) метров.
Ответ: \(\displaystyle 90\) метров.