Найдите значение выражения:
\(\displaystyle (\sqrt{343}-\sqrt{45})(7\sqrt{7}+3\sqrt{5})=\)
Разложим по возможности подкоренные выражения на множители так, чтобы из одного множителя корень извлекался нацело:
\(\displaystyle (\sqrt{343}-\sqrt{45})(7\sqrt{7}+3\sqrt{5})=(\sqrt{\color{blue}{ 49}\cdot 7}-\sqrt{\color{green}{ 9}\cdot 5})(7\sqrt{7}+3\sqrt{5}).\)
Вынесем множители из-под корня:
\(\displaystyle (\sqrt{\color{blue}{ 49}\cdot 7}-\sqrt{\color{green}{ 9}\cdot 5})(7\sqrt{7}+3\sqrt{5})=(\color{blue}{ 7}\sqrt{7}-\color{green}{ 3}\sqrt{5})(7\sqrt{7}+3\sqrt{5}).\)
Полученное выражение – это произведение разности чисел на их же сумму. Значит, можно применить формулу разности квадратов:
\(\displaystyle (7\sqrt{7}-3\sqrt{5})(7\sqrt{7}+3\sqrt{5})=(7\sqrt{7})^2-(3\sqrt{5})^2=49\cdot7-9\cdot5=343-45=298.\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}(\sqrt{343}-\sqrt{45})(7\sqrt{7}+3\sqrt{5})=(7\sqrt{7}-3\sqrt{5})(7\sqrt{7}+3\sqrt{5})&=(7\sqrt{7})^2-(3\sqrt{5})^2=\\&=343-45=298.\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle 298 {\small.} \)