Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности \(\displaystyle 12\) метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно \(\displaystyle 246\) метрам.
Так как улитка каждый день проползает больше, чем в предыщущий, на одно и то же расстояние, то мы получаем арифметическую прогрессию.
При этом:
\(\displaystyle a_1\) метров улитка проползла в первый день, \(\displaystyle a_2\) метров улитка проползла во второй день,\(\displaystyle \ldots{ \small ,}\) \(\displaystyle a_{n}\) метров улитка проползла на \(\displaystyle n\)-й день.
Известно, что
\(\displaystyle a_1+a_n=12{ \small ,}\)
\(\displaystyle a_1+\ldots +a_{n}=246{\small .}\)
Согласно формуле нахождения суммы \(\displaystyle n\) членов арифметической прогрессии,
\(\displaystyle S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n{\small .}\)
Поэтому
\(\displaystyle \frac{a_1+a_{n}}{2}\cdot n=246{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle a_1+a_n=12{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \frac{12}{2}\cdot n=246{ \small ,}\)
\(\displaystyle 6n=246{ \small ,}\)
\(\displaystyle n=41\) день.
Ответ: \(\displaystyle 41\)