Skip to main content

Теория: 02 Противоположное событие, произведение и сумма вероятностей

Задание

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда "Сапфир" играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда "Сапфир" начнёт игру с мячом не более одного раза.

Решение

Способ 1

Пусть \(\displaystyle A\) – это событие, что команда "Сапфир" начала игру с мячом не более одного раза.

Тогда оно состоит из следующих четырех событий:

  1. \(\displaystyle A_1:\) команда начнет первый матч с мячом, второй – без мяча, третий – без мяча;
  2. \(\displaystyle A_2:\) команда начнет первый матч без мяча, второй – с мячом, третий – без мяча;
  3. \(\displaystyle A_3:\) команда начнет первый матч без мяча, второй – без мяча, третий – с мячом;
  4. \(\displaystyle A_4:\) команда начнет первый матч без мяча, второй – без мяча, третий – без мяча.

\(\displaystyle A=A_1+A_2+A_3+A_4\)

События несовместны, то есть появления одного события исключает появление другого (действительно, если наступит событие \(\displaystyle A_1{ \small ,}\) то команда начнёт первую игру с мячом, но в других события первую игру она начнёт без мяча).

Поэтому

    \(\displaystyle P(A)=P(A_1+A_2+A_3+A_4)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+P(A_4){\small .}\)

    Найдем вероятности \(\displaystyle P(A_1),\,P(A_2),\,P(A_3),\,P(A_4){\small .}\)

    Пусть при выпадении орла команда начинает игру с мячом. Тогда события можно проинтерпретировать:

    • \(\displaystyle A_1=\) "выпадет орёл и выпадет решка и выпадет решка," \(\displaystyle P(A_1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{\small ; }\)
       
    • \(\displaystyle A_2=\) "выпадет решка и выпадет орёл и выпадет решка," \(\displaystyle P(A_2)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{\small ; }\)
       
    • \(\displaystyle A_3=\) "выпадет решка и выпадет решка и выпадет орёл," \(\displaystyle P(A_3)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{\small ; }\)
       
    • \(\displaystyle A_4=\) "выпадет решка и выпадет решка и выпадет решка," \(\displaystyle P(A_4)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{\small .}\)

    Таким образом,

    \(\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{ \small ,}\)

    \(\displaystyle P(A)=\frac{4}{8}{ \small ,}\)

    \(\displaystyle P(A)=0{,}5{\small .}\)

    Ответ: \(\displaystyle 0{,}5{\small .}\)


    Способ 2

    Пусть событие \(\displaystyle A\) – команда «Сапфир» начнет игру с мячом не более одного раза. 

    Общее число исходов равно

    \(\displaystyle 2^3=\color{blue}{8}{\small.}\)

    Благоприятными для события \(\displaystyle A\) являются исходы, в которых команда «Сапфир» начнет игру с мячом не более одного раза. Таких исходов \(\displaystyle \color{green}{4}{\small.}\)

    По определению вероятность события \(\displaystyle A\) равна

    \(\displaystyle P(A)=\frac{{\footnotesize число\,\,благоприятных\,\, исходов}}{{\footnotesize число \,\,всех \,\,исходов}}=\frac{\color{green}{4}}{\color{blue}{8}}=0{,}5{\small.}\)

    Ответ: \(\displaystyle 0{,}5{\small .}\)