На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно \(\displaystyle t^2\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(\displaystyle t\) единиц товаров. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, платится \(\displaystyle 500\) рублей, во втором – \(\displaystyle 300\) рублей. Выделяется \(\displaystyle 1\,200 \,000\) рублей в неделю на оплату труда рабочих.
Какое наибольшее количество единиц товаров можно произвести за неделю на этих двух заводах?
единиц
Пусть в первом городе трудятся суммарно \(\displaystyle x \) часов в неделю. Тогда будет произведено \(\displaystyle \sqrt{x} \) единиц товаров. Оплата труда при этом составит \(\displaystyle 500\cdot x \) рублей.
Пусть во втором городе трудятся суммарно \(\displaystyle y\) часов в неделю. Тогда будет произведено \(\displaystyle \sqrt{y} \) единиц товаров. Оплата труда при этом составит \(\displaystyle 300\cdot y\) рублей.
Поскольку всего на оплату труда выделено \(\displaystyle 1200000 \) рублей, то
\(\displaystyle 500x+300y=1200000{\small .} \)
При этом за неделю на обоих заводах будет произведено
\(\displaystyle f(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y} \) единиц товара.
Нам нужно найти максимальное значение \(\displaystyle f(x,y){\small .} \)
Из \(\displaystyle 500x+300y=1200000 \) получаем, что
\(\displaystyle y=4000-\frac{5}{3}x{\small .} \)
Подставляя в \(\displaystyle f(x,y){ \small ,} \) получаем:
\(\displaystyle f(x, 4000-\frac{5}{3}x)= \sqrt{x}+\sqrt{4000-\frac{5}{3}x}{\small .} \)
Найдем точку максимума функции
\(\displaystyle f(x)= \sqrt{x}+\sqrt{4000-\frac{5}{3}x}{\small .}\)
Запишем область определения:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x\ge 0{ \small ,}\\4000-\frac{5}{3}x \ge 0{\small ; } \end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x\ge 0{ \small ,}\\x \le 2400{\small . } \end{aligned}\right.\)
Найдем производную функции \(\displaystyle f(x){\small : } \)
\(\displaystyle f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{5}{3\cdot 2\sqrt{4000-\frac{5}{3}x}}{ \small ,} \)
\(\displaystyle f'(x)= \frac{3\sqrt{4000-\frac{5}{3}x}-5\sqrt{x}}{3\cdot 2\cdot \sqrt{x}\cdot \sqrt{4000-\frac{5}{3}x}}{ \small .} \)
Найдем критические точки (в которых числитель или знаменатель производной обращаются в ноль):
| 1. | \(\displaystyle 3\sqrt{4000-\frac{5}{3}x}-5\sqrt{x}=0 {\small ; }\) \(\displaystyle 3\sqrt{4000-\frac{5}{3}x}=5\sqrt{x} {\small ; }\) \(\displaystyle 9\left(4000-\frac{5}{3}x\right)=25x{\small ; }\) \(\displaystyle 9\cdot 4000-15x=25x{\small ; }\) \(\displaystyle 40x=9\cdot 4000{\small ; } \) \(\displaystyle x=900{\small .} \) |
| 2. | \(\displaystyle \sqrt{x}=0{\small ; } \) \(\displaystyle x=0{\small .} \) |
| 3. | \(\displaystyle \sqrt{4000-\frac{5}{3}x}{\small ; } \) \(\displaystyle \frac{5}{3}x=4000{\small ; } \) \(\displaystyle x=2400{\small .} \) |
Найдем промежутки возрастания и убывания функции \(\displaystyle f(x){\small : } \)
Проверим знаки.
Значит, \(\displaystyle x=900 \) – точка максимума. Следовательно, рабочие на первом работе должны работать \(\displaystyle 900 \) часов.
Тогда рабочие на втором заводе должны отработать
\(\displaystyle y=4000-\frac{5}{3}x{ \small ,} \)
\(\displaystyle y=4000-\frac{5}{3}\cdot 900=4000-5\cdot 300=2500\) часов.
Таким образом, наибольшее количество единиц товаров, которое может быть произведено за неделю, равно
\(\displaystyle \sqrt{900}+\sqrt{2500}=30+50=80 \) единиц.
Ответ: \(\displaystyle 80 \) единиц.