Skip to main content

Теория: 07 Неравенства

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle (x-3)^2<\sqrt3(x-3){\small .}\)

Выберите верный вариант ответа.
Решение

Преобразуем неравенство так, чтобы справа был ноль: 

 \(\displaystyle (x-3)^2-\sqrt3(x-3)<0{\small .}\)

В левой части присутствует общий множитель \(\displaystyle (x-3){\small .}\) Вынесем его за скобки:

 \(\displaystyle (x-3)(x-3-\sqrt3)<0{\small .}\)

Решим полученное неравенство.

Способ 1. Переход к системам линейных неравенств.

Все решения неравенства \(\displaystyle (x-3)(x-3-\sqrt3)<0\) получаются, когда

  • первый множитель положительный, второй отрицательный;
  • первый множитель отрицательный, второй положительный.

Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&>0{ \small ,}\\x-3-\sqrt3 &< 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&< 0{ \small ,}\\x-3-\sqrt3& >0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Подробное решение систем линейных неравенств

Объединяя решения систем, получаем:

\(\displaystyle x\in (3;3+\sqrt3){\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (3;3+\sqrt3){\small .} \)

 

Способ 2. Графический.

Заметим, что при преобразовании выражения в левой части неравенства \(\displaystyle (x-3)(x-3-\sqrt3)<0\) получится квадратный трехчлен с положительным коэффициентом при \(\displaystyle x^2{\small .}\)

Значит, графиком функции \(\displaystyle y=(x-3)(x-3-\sqrt3) \) является парабола ветвями вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) решив уравнение

\(\displaystyle (x-3)(x-3-\sqrt3)=0{\small .} \)

Корни уравнения\(\displaystyle (x-3)(x-3-\sqrt3)=0{\small :} \)

\(\displaystyle x_{1}=3\) и \(\displaystyle x_2=3+\sqrt3\)

Для решения неравенства \(\displaystyle (x-3)(x-3-\sqrt3)\color{red}{<}0\) схематично изобразим график параболы с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX \) и выделим красным цветом точки параболы, лежащие ниже оси \(\displaystyle \rm OX{ \small :} \)

Следовательно, искомое решение – это все точки прямой между \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 3+\sqrt3{\small :}\)

Получили решения – \(\displaystyle x\in (3;3+\sqrt3){\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle x\in (3;3+\sqrt3){\small .} \)

 

Способ 3. Метод интервалов.

Решим неравенство 

\(\displaystyle (x-3)(x-3-\sqrt3)<0\)

методом интервалов.

 

Найдем все значения \(\displaystyle x{\small ,}\) при которых левая часть обращается в ноль.

Корни уравнения \(\displaystyle (x-3)(x-3-\sqrt3)=0\) – это

\(\displaystyle x_1=3 \) и \(\displaystyle x_2=3+\sqrt{3}{ \small .} \)

Отметим найденные корни на числовой прямой, выкалывая их (так как знак неравенства строгий):

Получили три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;3){ \small ,} \, (3;3+\sqrt{3})\) и \(\displaystyle (3+\sqrt{3};+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=(x-3)(x-3-\sqrt{3})\) на каждом из интервалов.

В итоге получаем:


Так как решения неравенства  \(\displaystyle (x-3)(x-3-\sqrt{3})> 0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна, то

\(\displaystyle (3;3+\sqrt{3})\) – искомое решение.


Ответ: \(\displaystyle x \in (3;3+\sqrt{3}) {\small .}\)