Постройте график функции
\(\displaystyle y=\frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}\small.\)
Определите, при каких значениях параметра \(\displaystyle k\) прямая \(\displaystyle y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Выберите верный ответ:
Если дробь \(\displaystyle \frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}\) просто сократить, то получим
\(\displaystyle \frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}=-x^2-4\)
При этом левая и правая части выражений имеют разные области допустимых значений:
- дробь \(\displaystyle \frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}\)не определена при \(\displaystyle x=1{\small ; } \)
- многочлен \(\displaystyle -x^2-4\) определен для всех \(\displaystyle x\small.\)
Равенство выражений имеет место только для тех \(\displaystyle x\small,\) для которых определены оба выражения.
Поэтому нужно обязательно записать область определения исходной функции.
\(\displaystyle y=\frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}\small.\)
Знаменатель не равен нулю:
\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,1\small.\)
В области определения исходного выражения получаем:
\(\displaystyle \frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}=\frac{(x^2+4)\cancel{(x-1)}}{-\cancel{(x-1)}}=-(x^2+4)=-x^2-4\small.\)
Значит, с учетом области определения исходного выражения, необходимо построить параболу с выколотой точкой при\(\displaystyle x=1{\small : } \)
\(\displaystyle \begin{cases}y=-x^2-4,\\x\,\cancel{=}\,1.\end{cases}\)
И определить, при каких значениях параметра \(\displaystyle k\) прямая \(\displaystyle y=kx\) имеет с построенной параболой ровно одну общую точку.
1. Строим параболу \(\displaystyle y=-x^2-4\small.\)
Это парабола \(\displaystyle y=-x^2{ \small ,}\) сдвинутая на \(\displaystyle 4\) единицы вниз.
2. Так как \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,1\small,\) выкалываем на графике точку с абсциссой \(\displaystyle x=1\small.\)
Отметим, что выколотая точка имеет координаты \(\displaystyle (1;\,-5)\small.\)
- проходит через начало координат вне зависимости от значения \(\displaystyle k{\small ; } \)
- при изменении \(\displaystyle k\) поворачивается вокруг начала координат и принимает все положения кроме вертикального.
Тогда прямая \(\displaystyle y=kx\) имеет с построенным графиком ровно одну общую точку, если
- прямая проходит через выколотую точку параболы (красная прямая),
- прямая касается параболы \(\displaystyle y=-x^2-4\) (зеленые прямые).
Найдем, чему равно \(\displaystyle k\) в каждом из этих случаев.
Рассмотрим случай, когда прямая проходит через выколотую точку.
Прямая пересекает параболу \(\displaystyle y=-x^2-4\) в двух точках (одна из точек не видна на рисунке).
Но точка \(\displaystyle (1;-5)\) является выколотой точкой графика. Поэтому прямая и парабола имеют одну общую точку.
Прямая проходит через точку \(\displaystyle (1;-5){ \small ,}\) если при \(\displaystyle x=1\) значение \(\displaystyle y=-5\small.\)
При подстановке в \(\displaystyle y=kx\) получаем:
\(\displaystyle -5=k\cdot 1\small,\)
\(\displaystyle k=-5\small.\)
\(\displaystyle k=4\) или \(\displaystyle k=-4\)
Рассмотрим случай, когда прямая касается параболы.
В общей точке прямой \(\displaystyle y=kx\) и параболы \(\displaystyle y=-x^2-4\) значения \(\displaystyle y\) совпадают. Поэтому приравняем их:
\(\displaystyle kx=-x^2-4\small,\)
\(\displaystyle x^2+kx+4=0\small.\)
Поскольку прямая и парабола имеют только одну общую точку, то у данного уравнения должно быть одно решение.
Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2+kx+4=0\) имеет ровно один корень, если его дискриминант равен \(\displaystyle 0\small.\)
Приравняем дискриминант к нулю:
\(\displaystyle k^2-4\cdot4=0\small,\)
Тогда
\(\displaystyle k^2=4^2\small,\)
\(\displaystyle k=4\) или \(\displaystyle k=-4\small.\)
Таким образом, прямая \(\displaystyle y=kx\) и график функции \(\displaystyle y=\frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}\) имеют одну общую точку при
\(\displaystyle k=-5\) или \(\displaystyle k=4\) или \(\displaystyle k=-4\small.\)
Ответ: \(\displaystyle k\in\{-5\}\cup\{-4\}\cup\{4\}\small.\)