Skip to main content

Теория: Горизонтальная прямая

Задание

Постройте график функции

\(\displaystyle y=\begin{cases}-x^2-2x+3,\,\small{если}\,x\geqslant-2\\-x-1,\,\small{если}\,x<-2\small.\end{cases}\)

Определите, при каких значениях \(\displaystyle m\) прямая \(\displaystyle y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение

Построим график кусочно-заданной функции по шагам:

  • сначала построим график \(\displaystyle y=-x^2-2x+3 \) для \(\displaystyle x\geqslant-2,\)
  • затем  построим график \(\displaystyle y=-x-1\) для \(\displaystyle x<-2\small.\)

Строим график \(\displaystyle y=-x^2-2x+3\) для \(\displaystyle x\geqslant-2\small.\)

Строим график \(\displaystyle y=-x-1 \) для \(\displaystyle x<-2\small.\)

Объединяя, получаем график кусочно-заданной функции.

\(\displaystyle y= \begin{cases} -x^2-2x+3,\,\small{если}\,x\geqslant-2\\-x-1,\,\small{если}\,x<-2\small. \end{cases} \)


Запишем координаты граничных точек:

 \(\displaystyle x=-2\)
\(\displaystyle y=-x^2-2x+3\)\(\displaystyle 3\)
\(\displaystyle y=-x-1\)\(\displaystyle 1\)


А также напомним, что  координаты вершины параболы – \(\displaystyle (-1;\,4)\small.\)

Определим, при каких значениях \(\displaystyle m\) прямая \(\displaystyle y=m\) пересекает график ровно в двух точках.

Прямая \(\displaystyle y=m\) – горизонтальная прямая.

Меняя значение \(\displaystyle m,\) будем двигать данную прямую.

Определим, когда она имеет с графиком ровно две общие точки:

Таким образом, прямая \(\displaystyle y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки при

\(\displaystyle m\in(1;\, 3)\cup\{4\}\small.\)

Ответ: \(\displaystyle m\in(1;\, 3)\cup\{4\}\small.\)