Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Один из катетов прямоугольного треугольника равен \(\displaystyle 3 \small,\) a радиус окружность равен \(\displaystyle 2{,}5 \small.\) Найдите длину второго катета прямоугольного треугольника.
Пусть \(\displaystyle ABC\) – прямоугольный треугольник с гипотенузой \(\displaystyle AB\) и катетом \(\displaystyle AC=3 \small.\)
Требуется найти второй катет \(\displaystyle BC \small.\)
По свойству описанной около прямоугольного треугольника окружности
Описанная окружность и прямоугольный треугольник
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а её радиус равен половине гипотенузы.
половина гипотенузы равна радиусу описанной окружности, то есть \(\displaystyle 2{,}5 \small.\)
Тогда вся гипотенуза равна удвоенному радиусу описанной окружности, то есть \(\displaystyle 5 \small.\)
Из прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABC\) по теореме Пифагора
\(\displaystyle AB^2=BC^2+AC^2 \small.\)
Тогда
\(\displaystyle BC^2=AB^2-AC^2 \small,\)
\(\displaystyle BC^2=5^2-3^2=25-9=16 \small.\)
Поскольку длина отрезка положительна, то \(\displaystyle BC=4 \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 4 {\small .}\)