Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Подобные треугольники

Задание

Прямая, параллельная стороне \(\displaystyle AC\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small,}\) пересекает стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) в точках \(\displaystyle K\) и \(\displaystyle M\) соответственно. Найдите \(\displaystyle AC {\small,}\) если \(\displaystyle BK:KA=3:4 {\small,}\) \(\displaystyle KM=18 {\small.}\)

Решение

По свойству параллельных прямых:

Так как \(\displaystyle KM \parallel AC {\small,} \) \(\displaystyle AB\) – секущая, то \(\displaystyle \angle BKM= \angle BAC\) \(\displaystyle (\)соответственные углы\(\displaystyle ){\small.}\)

 

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle KBM\) и \(\displaystyle ABC {\small:} \\ \)

  •  \(\displaystyle \angle KBM= \angle ABC {\small,} \\ \)
  •  \(\displaystyle \angle BKM= \angle BAC {\small.}\)

Треугольники \(\displaystyle KBM\) и \(\displaystyle ABC \) подобны по двум углам.

Следовательно,

\(\displaystyle \frac{KM}{AC}= \frac{BK}{BA} {\small.} \\ \)

Из полученного равенства по пропорции выразим \(\displaystyle AC {\small:}\)

\(\displaystyle AC= \frac{BA}{BK} \cdot KM{\small.} \)

 

По условию  \(\displaystyle BK:KA=3:4 {\small.} \\ \)

Пусть \(\displaystyle BK=3t {\small,}\) \(\displaystyle KA=4t {\small,}\) тогда

\(\displaystyle \\ \frac{BA}{BK}= \frac{BK+KA}{BK}=\frac{3t+4t}{3t}=\frac{7}{3} {\small.} \)

 

 

 

Получаем

\(\displaystyle AC= \frac{BA}{BK} \cdot KM=\frac{7}{3} \cdot 18=42{\small.} \)

 

Ответ: \(\displaystyle 42 {\small.}\)