В цилиндрический сосуд налили \(\displaystyle 600\) куб. см воды. Затем в воду полностью погрузили деталь объёмом \(\displaystyle 1200\) кубических сантиметров. Во сколько раз при этом увеличился уровень жидкости в сосуде?
Пусть площадь основания цилиндрического сосуда \(\displaystyle S_{осн}{ \small ,} \) а уровень воды до погружения детали составлял \(\displaystyle h_1 \small. \)
Объем жидкости равен объему цилиндра, в котором:
- площадь основания цилиндра равна площади основания сосуда \(\displaystyle S_{осн} { \small ,}\)
- высота равна уровню жидкости в сосуде \(\displaystyle h_1 \small. \)
По условию задачи объём воды \(\displaystyle 600\) куб. см.
Поскольку объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту, получаем соотношение
\(\displaystyle 600=S_{осн} \cdot h_1\, \small, \)
\(\displaystyle S_{осн} =\frac{600}{h_1}\, \small. \)
В задаче требуется найти, во сколько раз увеличится уровень жидкости в сосуде после погружения детали.
По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной жидкости.
Значит, объём \(\displaystyle V\) содержимого сосуда после погружения детали равен сумме объёмов воды и детали,
\(\displaystyle V=600+1200=1800 \small. \)
Заметим, что при погружении детали в сосуд с водой изменяется только уровень жидкости.
Поэтому объём содержимого сосуда после погружения детали равен объёму цилиндра, в котором:
- площадь основания цилиндра равна площади основания сосуда \(\displaystyle S_{осн} { \small ,}\)
- высота цилиндра \(\displaystyle h_2 \) равна уровню воды после погружения детали.
Таким образом, требуется найти \(\displaystyle \frac{h_2}{h_1} \small.\)
Поскольку объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту, получаем соотношение
\(\displaystyle 1800=S_{осн} \cdot h_2\, \small. \)
Так как \(\displaystyle S_{осн} =\frac{600}{h_1}\, \small, \) то
\(\displaystyle 1800=\frac{600}{h_1} \cdot h_2\, \small, \)
\(\displaystyle \frac{h_2}{h_1}=3 \small. \)
Ответ: \(\displaystyle 3 {\small .}\)