Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 14 Трапеция (комбинированные задачи)

Задание

Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию на отрезки \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 10{\small .}\) Найдите разность длин оснований трапеции.

Решение

Пусть \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) – основания трапеции \(\displaystyle ABCD{\small ,}\) \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) – середины боковых сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) соответственно.

Обозначим через \(\displaystyle T\) точку пересечения диагонали \(\displaystyle AC\) со средней линией \(\displaystyle MN{\small .}\) 

Пусть \(\displaystyle MT=4{\small ,}\) \(\displaystyle TN=10{\small .}\) 

По свойству средней линии трапеции прямая \(\displaystyle MN\) параллельна прямым \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC{\small .}\)

В треугольнике \(\displaystyle ACD\) отрезок \(\displaystyle TN\) параллелен стороне \(\displaystyle AD\) и проходит через середину стороны \(\displaystyle CD{\small .}\)

По следствию теоремы Фалеса точка \(\displaystyle T\) является серединой \(\displaystyle AC{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle TN\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ACD{\small ,}\) а \(\displaystyle TM\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ACB{\small .}\)

По свойству средней линии треугольника

\(\displaystyle AD =2 \cdot TN={2} \cdot 10 = 20\) 

и

\(\displaystyle BC=2 \cdot TM=2\cdot 4=8{\small .}\) 

Следовательно, основания трапеции  \(\displaystyle AD=20\) и \(\displaystyle BC=8{\small ,}\)  разность их длин составляет 

\(\displaystyle AD-BC=20-8=12{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 12{\small .}\)

 

Замечание / комментарий

В ходе решения задачи мы получили следующее свойство средней линии трапеции:

Правило

Свойство средней линии трапеции

Средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей трапеции:

точки \(\displaystyle T\) и \(\displaystyle W\) – середины диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD{\small .}\)