Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 13 Трапеция (Тригонометрия)

Задание

В равнобедренной трапеции с меньшим основанием \(\displaystyle 23\) и высотой \(\displaystyle 39\) тангенс острого угла равен \(\displaystyle \frac{13}{8} \small.\) Найдите большее основание трапеции.

Решение

Пусть \(\displaystyle BC=23\) – меньшее основание, \(\displaystyle AB=CD\) – боковые стороны равнобедренной трапеции \(\displaystyle ABCD \small.\)

По свойству равнобедренной трапеции углы при основании равны, \(\displaystyle \tg \angle A=\tg \angle D=\frac{13}{8} \small.\)

Требуется найти основание \(\displaystyle AD \small.\)

Проведем высоты

\(\displaystyle BH = CK =39 \)

 трапеции. 

 

Отрезок \(\displaystyle AH \) найдем из треугольника \(\displaystyle ABH \small.\)

Нам известны \(\displaystyle \tg \angle BAH=\frac{13}{8}\) и противолежащий острому углу \(\displaystyle BAH\) катет \(\displaystyle BH=39 \small.\)

Так как

\(\displaystyle \tg \angle BAH=\frac{BH}{AH} \small,\)

то

\(\displaystyle AH=\frac{BH}{\tg \angle BAH}=\frac{39}{\phantom{1}{\displaystyle\frac{13}{8}}\phantom{1}}=\frac{39\cdot 8}{13}=3\cdot 8=24 \small.\)

 

Поскольку основания трапеции параллельны, а высоты трапеции перпендикулярны основаниям, \(\displaystyle BH K C \) – прямоугольник. Тогда \(\displaystyle H K =BC=23 \small.\)

 

Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABH\) и \(\displaystyle DCK\) равны по гипотенузе \(\displaystyle AB=CD\) и катету \(\displaystyle BH=CK \small.\)

Значит, \(\displaystyle DK=AH=24\) и 

\(\displaystyle AD=AH+HK+DK=\)

\(\displaystyle =24+23+24=71 \small.\)

Ответ: \(\displaystyle 71 \small.\)