Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны \(\displaystyle 10{\small ,}\) площадь поверхности равна \(\displaystyle 25\sqrt{3}+180{\small .}\) Найдите апофему этой пирамиды.
По условию задачи даны сторона основания \(\displaystyle a=10\) и площадь поверхности \(\displaystyle S=25\sqrt{3}+180 {\small .}\)
Требуется найти апофему \(\displaystyle l{\small .}\)
Воспользуемся формулой для вычисления площади полной поверхности пирамиды.
Площадь полной поверхности пирамиды
Площадь полной поверхности пирамиды \(\displaystyle S \) равна
\(\displaystyle S=S_{осн}+S_{бок} { \small ,} \)
где \(\displaystyle S_{осн} \) – площадь основания,
\(\displaystyle S_{бок}\) – площадь боковой поверхности пирамиды.
При этом:
- площадь \(\displaystyle S\) известна;
- площадь основания \(\displaystyle S_{осн}\) вычисляется через сторону основания, так как в основании лежит равносторонний треугольник;
- площадь боковой поверхности \(\displaystyle S_{бок}\) вычисляется через апофему и ребро основания.
Поэтому для нахождения апофемы нужно:
1. Вычислить \(\displaystyle S_{осн}{\small .}\)
2. Выразить \(\displaystyle S_{бок}\) через \(\displaystyle l{\small ,}\)пользуясь тем, что \(\displaystyle S_{бок}=4S_{грани}\) и \(\displaystyle S_{грани}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot l{ \small .}\)
3. Найти \(\displaystyle l{\small ,}\) подставив \(\displaystyle S_{осн}\) и \(\displaystyle S_{бок}\) в формулу для \(\displaystyle S\small .\)
1. Найдем площадь основания пирамиды.
2. Выразим площадь боковой поверхности \(\displaystyle S_{бок}\) через апофему \(\displaystyle l{\small .}\)
3. Найдем \(\displaystyle l{\small ,}\) подставив \(\displaystyle S_{осн}\) и \(\displaystyle S_{бок}\) в формулу для \(\displaystyle S\small :\)
\(\displaystyle S=S_{осн}+S_{бок} { \small ,} \)
\(\displaystyle 25\sqrt{3}+180=25\sqrt{3}+15\cdot l{ \small ,} \)
\(\displaystyle 15\cdot l=180 { \small ,} \)
\(\displaystyle l=12 { \small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 12{\small .}\)