Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Элементарные логарифмические уравнения

Задание

Решите уравнение (если корней два или более, то в ответ запишите наименьший из них):

\(\displaystyle \log_{3}x+\log_{x}\frac{1}{27}-2=0{\small .}\)

\frac{1}{3}
Решение

\(\displaystyle \log_{3}\color{magenta}{x}+\log_{\color{red}{x}}\frac{1}{27}-2=0{\small .}\)

Область допустимых значений (ОДЗ):

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{magenta}{x} &> 0{\small ,}\\\color{red}{x} &> 0{\small ,}\\\color{red}{x}\,&\cancel{=}\, 1{\small ;}\end{aligned}\right.\)    \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x &> 0{\small ,}\\x\,&\cancel{=}\, 1{\small .}\end{aligned}\right.\)

Так как

\(\displaystyle \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3}{\small ,}\) то

\(\displaystyle \log_{3}x+\log_{x}{3^{-3}}-2=0{\small ,}\)

\(\displaystyle \log_{3}x-3\log_{x}{3}-2=0{\small .}\)

По свойству

Правило

\(\displaystyle \log_{a}{b}=\frac{1}{\log_{b}{a}}{\small ,}\)            \(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1,b \, \cancel= \,1 ){\small.}\)

\(\displaystyle \log_{x}{3}=\frac{1}{\log_{3}{x}}{\small .}\)

Поэтому уравнение

\(\displaystyle \log_{3}x-3\log_{x}{3}-2=0\)

примет вид:

\(\displaystyle \log_{3}x-3\cdot \frac{1}{\log_{3}{x}}-2=0{\small .}\)

Сделаем замену. Пусть \(\displaystyle t=\log_{3}x{\small .}\)

Получаем рациональное уравнение

\(\displaystyle t-3\cdot \frac{1}{t}-2=0{\small .}\)

Приведем к общему знаменателю

\(\displaystyle \frac{t^2-3-2t}{t}=0{\small .}\)

Данное рациональное уравнение равносильно системе:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t^2-3-2t&=0{\small ,}\\t\,&\cancel{=}\, 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим полученное квадратное уравнение

\(\displaystyle t^2-3-2t= 0{\small ,}\)

\(\displaystyle t^2-2t-3= 0{\small .}\)

Получаем:

\(\displaystyle {\rm D}= (-2)^2-4\cdot(-3)=16{\small ,}\)

\(\displaystyle t_1=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2}=3{\small ,}\)

\(\displaystyle t_2=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2}=-1{\small .}\)

Так как \(\displaystyle 3\cancel{=}\, 0 \) и \(\displaystyle -1\cancel{=}\, 0{ \small ,} \) то рассмотрим оба значения для \(\displaystyle t{\small :}\)

Случай 1.

\(\displaystyle t=3{\small ,}\) то есть

\(\displaystyle \log_{3}x=3{\small ,}\)

\(\displaystyle x=3^3{\small ,}\)

\(\displaystyle x=27{\small .}\)

\(\displaystyle 27>0,\, 27\,\cancel{=}\,1{\small .}\) Следовательно, \(\displaystyle x=27\) удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2.

\(\displaystyle t=-1{\small ,}\) то есть

\(\displaystyle \log_{3}x=-1{\small ,}\)

\(\displaystyle x=3^{-1}{\small ,}\)

\(\displaystyle x=\frac{1}{3}{\small .}\)

\(\displaystyle \frac{1}{3}>0,\, \frac{1}{3}\,\cancel{=}\,1{\small .}\) Следовательно, \(\displaystyle x=\frac{1}{3}\) удовлетворяет ОДЗ.

Так как \(\displaystyle 27>\frac{1}{3}{ \small ,}\) то \(\displaystyle x=\frac{1}{3}\) – наименьшее решение.

Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{3}{\small .} \)