Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Трапеция (подготовительные задачи для второй части ЕГЭ)

Задание

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна \(\displaystyle 8{\small .}\) Найдите её высоту.

8
Решение

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то сумма оснований равна \(\displaystyle 16{\small .}\)

Первый способ решения

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle ABD\) и \(\displaystyle ACD{\small .}\)

Они равны по трем сторонам:

  • \(\displaystyle AB=CD\) как боковые стороны  равнобедренной трапеции,
  • \(\displaystyle AC=BD\) как диагонали равнобедренной трапеции,
  • \(\displaystyle AD\) – общая сторона.

Значит, углы \(\displaystyle ADB\) и \(\displaystyle DAC\) равны.

Поскольку \(\displaystyle \angle AOD=90^{\circ}{\small ,}\) то из треугольника \(\displaystyle AOD\) получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\angle ADO&=\angle DAO= \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle AOD)=\\&=\frac{1}{2}(180^{\circ} - 90^{\circ})=\frac{1}{2}\cdot 90^{\circ} = 45^{\circ}{\small .}\end{aligned}\)

Аналогично, треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle BCD\) равны  по трем сторонам, \(\displaystyle \angle CBO=\angle BCO= 45^{\circ}{\small .}\)

 

Тогда треугольники \(\displaystyle AOD\) и \(\displaystyle BOC\) – прямоугольные, а углы при основаниях равны

\(\displaystyle \angle ADO=\angle DAO=\angle BCO=\angle CBO=45^{\circ}{\small .}\)

Значит, треугольники \(\displaystyle AOD\) и \(\displaystyle BOC\) – равнобедренные.

Через точку \(\displaystyle O\) проведем высоту трапеции, пусть \(\displaystyle K\) и \(\displaystyle H\) – точки ее пересечения с основаниями \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) соответственно.

Следовательно, \(\displaystyle OH\) и \(\displaystyle OK\) – высоты равнобедренных треугольников \(\displaystyle AOD\) и \(\displaystyle BOC{\small ,}\) а значит и медианы, и биссектрисы. Тогда  

\(\displaystyle AH=HD=\frac{1}{2}\cdot AD{\small ,}\)

\(\displaystyle BK=KC=\frac{1}{2}\cdot BC{\small ,}\)

\(\displaystyle \angle KOC=\angle KOB=45^{\circ}{\small ,}\)

\(\displaystyle \angle HOD=\angle HOA=45^{\circ}{\small .}\)

 

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle KOC\) и \(\displaystyle HOD{\small .}\)

Так как \(\displaystyle \angle HOD=\angle HDO=45^{\circ}{\small ,}\)

\(\displaystyle \angle KOC=\angle KOB=45^{\circ}{\small ,}\)

то треугольники \(\displaystyle KOC\) и \(\displaystyle HOD\) – прямоугольные и равнобедренные,

\(\displaystyle OK=KC{\small ,}\) \(\displaystyle OH=HD{\small ,}\)

\(\displaystyle KH=OK+OH=KC+HD=\)

\(\displaystyle =\frac{BC+AD}{2}=\frac{16}{2}=8{\small .}\)

 

Второй способ решения

Проведем прямую \(\displaystyle CE\) параллельно прямой \(\displaystyle BD{\small ,}\) точка \(\displaystyle E\) лежит на прямой \(\displaystyle AD{\small .}\) Тогда в четырехугольнике \(\displaystyle BDEC\) прямые \(\displaystyle CE\) и \(\displaystyle BD\) параллельны по построению, прямые \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle DE\) параллельны как прямые, содержащие основания трапеции.

 

Значит, \(\displaystyle BDEC\) – параллелограмм. По свойству параллелограмма \(\displaystyle DE=BC{\small ,}\) \(\displaystyle CE=BD{\small .}\)

Тогда 

\(\displaystyle AE=AD+DE=AD+BC=16{\small .}\)

Отрезки \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) равны как диагонали равнобедренной трапеции. Следовательно, \(\displaystyle AC=CE{\small .}\)

 

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ACE{\small .}\)  Углы \(\displaystyle ACE\) и \(\displaystyle AOD\) равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых \(\displaystyle CE\) и \(\displaystyle BD\) секущей \(\displaystyle AC{\small .}\) Значит, 

\(\displaystyle \angle ACE =\angle AOD=90^{\circ}{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle ACE\) – прямоугольный равнобедренный треугольник. 

Сумма углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small ,}\) поэтому 

\(\displaystyle \angle CAE=\angle CEA = \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle ACE)= \frac{1}{2} (180^{\circ} - 90^{\circ})= \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ}=45^{\circ}{\small .}\)

 

В прямоугольном равнобедренном треугольнике \(\displaystyle ACE\)  проведем высоту, медиану и биссектрису \(\displaystyle CN{\small .}\)

Так как \(\displaystyle CN\) – медиана, то

\(\displaystyle AN=NE=\frac{1}{2}\cdot AE=\frac{1}{2}\cdot 16=8{\small .}\)

Так как \(\displaystyle CN\) – биссектриса, то

\(\displaystyle \angle ACN=\angle NCE=45^{\circ}=\angle CAN{\small .}\)

Тогда треугольник \(\displaystyle ACN\) – прямоугольный равнобедренный, 

\(\displaystyle CN=AN=8{\small .}\)

 

Ответ: \(\displaystyle 8{\small .}\)