Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 09 Тригонометрические функции

Задание

На рисунке изображён график функции \(\displaystyle f\left(x\right)=a\tg x +b{\small.}\) Найдите \(\displaystyle f\bigg(\frac{29\pi}{4}\bigg){\small.}\)
 


 

\(\displaystyle f\bigg(\frac{29\pi}{4}\bigg)=\)

Решение

Чтобы найти \(\displaystyle f\bigg(\frac{29\pi}{4}\bigg){\small,}\) найдём сначала неизвестные коэффициенты \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small.}\)

Для этого составим систему уравнений относительно \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) и решим её.

Заметим, что точки, отмеченные на графике функции \(\displaystyle f(x)=a\tg x +b{ \small ,}\)
имеют координаты \(\displaystyle (\color{blue}{0};\color{blue}{-1})\) и \(\displaystyle \bigg(\color{green}{\frac{\pi}{4}};\color{green}{-\frac{1}{2}}\bigg){\small .}\)

Значит,

  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{blue}{0}\) и \(\displaystyle y=\color{blue}{-1}\) в уравнение \(\displaystyle y=a\tg x +b\) получим верное равенство;
  • при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{green}{\frac{\pi}{4}}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{-\frac{1}{2}}\) в уравнение \(\displaystyle y=a\tg x +b\) получим верное равенство.

Таким образом, получаем систему уравнений:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{-1}&=a\cdot \tg \color{blue}{0}+b{ \small ,}\\\color{green}{-\frac{1}{2}}&=a\cdot \tg\color{green}{\frac{\pi}{4}}+b{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Поскольку \(\displaystyle \tg \color{blue}{0}=0\) и \(\displaystyle \tg\color{green}{\frac{\pi}{4}}=1{ \small ,}\) то

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}{-1}&=a\cdot 0+b{ \small ,}\\{-\frac{1}{2}}&=a\cdot1+b\end{aligned}\right. \)

или

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}{-1}&=b{ \small ,}\\{-\frac{1}{2}}&=a+b{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Решим полученную систему уравнений.

Решение данной системы уравнений \(\displaystyle a=\frac{1}{2}\) и \(\displaystyle b=-1\)

Тогда исходная функция имеет вид:

\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\tg x -1{ \small .}\) 

В задаче требуется найти \(\displaystyle f\bigg(\frac{29\pi}{4}\bigg){ \small:}\)

\(\displaystyle f\bigg(\frac{29\pi}{4}\bigg)=\frac{1}{2}\cdot \tg \frac{29\pi}{4}-1{ \small .}\) 

Найдем \(\displaystyle \tg \frac{29\pi}{4}{ \small .}\) 

\(\displaystyle \text{tg} \frac{29\pi}{4}=\text{tg} \bigg(7\pi+\frac{\pi}{4} \bigg)=\text{tg} \frac{\pi}{4}=1\)

Тогда окончательно имеем:

\(\displaystyle f\bigg(\frac{29\pi}{4}\bigg)=\frac{1}{2}\cdot \tg \frac{29\pi}{4}-1= \frac{1}{2}\cdot 1-1=-0{,}5{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle f\bigg(\frac{29\pi}{4}\bigg)=-0{,}5{\small.}\)