Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \frac{24( \sin^2 17^\circ - \cos^2 17^ \circ)}{\cos 34^ \circ}=\)
В данном выражении \(\displaystyle \frac{24( \sin^2 17^\circ - \cos^2 17^ \circ)}{\cos 34^ \circ}\) два разных угла, причем один из них в два раза больше другого:
\(\displaystyle 34^ \circ=2 \cdot \color{red}{17^ \circ} {\small.}\)
То есть:
\(\displaystyle \frac{24( \sin^2 17^\circ - \cos^2 17^ \circ)}{\cos 34^ \circ}=\frac{24( \sin^2 17^\circ - \cos^2 17^ \circ)}{\cos(2 \cdot \color{red}{17^ \circ})}{\small.}\)
Применим формулу косинуса двойного угла:
\(\displaystyle \cos\, 2\color{red}{\alpha}=\cos^2\color{red}{\alpha}-\sin^2\color{red}{\alpha}\)
В нашем случае \(\displaystyle \alpha=\color{red}{17^ \circ},\) то есть
\(\displaystyle \cos(2 \cdot \color{red}{17^ \circ})=\cos^2\color{red}{ 17^ \circ}-\sin^2\color{red}{ 17^ \circ}{\small.}\)
Тогда:
\(\displaystyle \frac{24( \sin^2 17^\circ - \cos^2 17^ \circ)}{\color{red}{\cos(2 \cdot 17^ \circ)}}=\frac{24( \sin^2 17^\circ - \cos^2 17^ \circ)}{\color{red}{\cos^2 17^ \circ-\sin^2 17^ \circ}}{\small.}\)
Сократим полученную дробь:
\(\displaystyle \frac{24( \sin^2 17^\circ - \cos^2 17^ \circ)}{\cos^2 17^ \circ-\sin^2 17^ \circ}=\frac{24( \sin^2 17^\circ - \cos^2 17^ \circ)}{-(\sin^2 17^ \circ-\cos^2 17^ \circ)}=\frac{24\,\cancel{( \sin^2 17^\circ - \cos^2 17^ \circ)}}{-\,\cancel{(\sin^2 17^ \circ-\cos^2 17^ \circ)}}=\frac{24}{-1 \phantom1}=-24{\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \frac{24( \sin^2 17^\circ - \cos^2 17^ \circ)}{\cos 34^ \circ}=\frac{24( \sin^2 17^\circ - \cos^2 17^ \circ)}{\cos^2 17^ \circ-\sin^2 17^ \circ}=-24{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -24 {\small.} \)