Найдите значение выражения \(\displaystyle \log_{a} (a^5 b^3) ,\) если \(\displaystyle \log_{a} b=3 {\small .}\)
\(\displaystyle \log_{a} (a^5 b^3) =\)
Из условия задачи \(\displaystyle a>0, b>0, a \, \cancel= \,1.\)
Упростим \(\displaystyle \log_{a} (a^5 b^3) {\small.} \)
Применим свойство логарифма:
\(\displaystyle \log_x (yz)=\log_x y+\log_x z\)
\(\displaystyle (y>0, z>0, x>0,x \, \cancel= \,1 )\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_{a} (a^5 b^3)=\log_{a} a^5+\log_{a} b^3 {\small.}\)
Найдем значение первого слагаемого:
\(\displaystyle \log_{a} a^5=5 {\small.}\)
Упростим второе слагаемое \(\displaystyle \log_{a} b^3 {\small.}\)Применим свойство логарифма степени:
\(\displaystyle \log_x y^{\color{red}k}=\color{red}k \log_x y\)
\(\displaystyle (y>0, x>0,x \, \cancel= \,1 )\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_{a} b^3 =3\log_{a} b{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \log_{a} a^5+\log_{a} b^3=5+3\log_{a} b{\small.}\)
Подставим данное в условии значение \(\displaystyle \log_{a} b=3 {\small :}\)
\(\displaystyle 5+3\log_{a} b=5+3 \cdot 3=14{\small.}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \log_{a} (a^5 b^3)=\log_{a} a^5+\log_{a} b^3=5+3\log_{a} b=5+3 \cdot 3=14 {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 14 {\small.} \)