Найдите значение выражения:
\(\displaystyle 16^{\log_2 {3}\,-\,\frac{1}{2}}= \)
В показателе степени \(\displaystyle 16^{\log_2 {3}\,-\,\frac{1}{2}}\) стоит разность.
По свойству степени
\(\displaystyle a^{\color{red}n} : a^{\color{blue}{m}}=a^{\color{red}n-\color{blue}{m}}\)
или
\(\displaystyle a^{\color{red}n-\color{blue}{m}}=a^{\color{red}n} : a^{\color{blue}{m}}\)
получаем
\(\displaystyle 16^{\log_2 {3}\,-\,\frac{1}{2}}=16^{\log_2 {3}}:16^{\frac{1}{2}}{\small.}\)
В выражении \(\displaystyle 16^{\log_2 {3}}\) разные основания у степени и у логарифма, однако они связаны друг с другом:
\(\displaystyle 16=2^4 {\small.}\)
Используем это:
\(\displaystyle 16^{\log_2 {3}}= (2^4)^{\log_2 {3}}=(2^{\log_2 {3}})^4{\small.}\)
Применим основное свойство логарифма:
\(\displaystyle \color{red}a^{\log_{\color{red}a} {\color{blue}{b}}}=\color{blue}{b} \) \(\displaystyle (b>0,a>0,a \, \cancel= \,1 )\)
В нашем случае:
\(\displaystyle 2^{\log_2 {3}}=3 {\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle (2^{\log_2 {3}})^4=3^4=81 {\small.}\)
Найдем значение делителя:
\(\displaystyle 16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4 {\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle 16^{\log_2 {3}}:16^{\frac{1}{2}}=81:4=20{,}25 {\small.} \)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle 16^{\log_2 {3}\,-\,\frac{1}{2}}=16^{\log_2 {3}}:16^{\frac{1}{2}}= (2^4)^{\log_2 {3}}:\sqrt{16}=(2^{\log_2 {3}})^4:4=3^4 : 4=81:4=20{,}25{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 20{,}25 {\small.} \)