Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Прямоугольник и квадрат

Задание

Периметр прямоугольника равен \(\displaystyle 34,\) а диагональ равна \(\displaystyle 13.\) Найдите площадь этого прямоугольника.

60
Решение

Сначала найдем стороны прямоугольника. 

Пусть \(\displaystyle AB=x\) – меньшая сторона прямоугольника, а \(\displaystyle BC=y\) – большая сторона прямоугольника.

Периметр прямоугольника равен \(\displaystyle P=2(AB+BC).\)  Известно, что \(\displaystyle P=34.\) 

Значит,

\(\displaystyle \color{green}{2(x+y)=34}.\)


Для нахождения второго соотношения рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC \small{:}\)

Поскольку \(\displaystyle \angle ABC = 90^{\circ},\) то \(\displaystyle ABC\) – прямоугольный треугольник с гипотенузой \(\displaystyle AC.\)

По теореме Пифагора, \(\displaystyle AC^2=AB^2 + BC^2.\)

Значит, 

\(\displaystyle \color{blue}{13^2=x^2 + y^2}.\)


Получаем систему уравнений 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{green}{2(x+y)=34}{ \small ,}\\\color{blue}{x^2 + y^2=13^2} {\small .}\end{aligned}\right. \)

Выразим из первого уравнения \(\displaystyle y\) через  \(\displaystyle x\):

\(\displaystyle 2(x+y)=34 \, | : \color{red}{2},\)

\(\displaystyle x+y=17,\)

\(\displaystyle y=17-x.\)

Подставим полученное выражение во второе уравнение: 

\(\displaystyle x^2 + (17-x)^2=13^2,\)

\(\displaystyle x^2 + 289 - 34x+x^2=169,\)

\(\displaystyle 2x^2-34x+289-169=0,\)

\(\displaystyle 2x^2-34x+120=0 \, | : \color{red}{2},\)

\(\displaystyle x^2-17x+60=0.\)

Решим квадратное уравнение.

\(\displaystyle x_1=12\) и \(\displaystyle x_2=5\) корни уравнения \(\displaystyle x^2-17x+60=0\)

Если \(\displaystyle x=12,\) то \(\displaystyle y=17-x=5.\)

Если \(\displaystyle x=5,\) то \(\displaystyle y=17-x=12.\)

Поскольку \(\displaystyle x\) – меньшая сторона прямоугольника, то \(\displaystyle x=5,\) \(\displaystyle y=12.\)

Получили \(\displaystyle AB=5\) и \(\displaystyle BC=12.\) 


Площадь прямоугольника равна \(\displaystyle S=AB\cdot BC.\)  

Значит, 

\(\displaystyle S=5\cdot 12=60.\)
 

Ответ: \(\displaystyle 60{\small .}\)